Page 17 - E-MODUL SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK

E. KUNCI JAWABAN

1. G suatu grup komutatif, S dan T masing-masing subgrup dari G. {
}. Buktikan bahwa ST subgrup dari G!

Untuk membuktikan bahwa ST adalah subgrup dari grup komutatif G, di man S dan T
adalah subgrup-subgrup dari G, perlu diperiksa tiga syarat untuk menjadi subgrup.

 Memenuhi stabilitas terhadap operasi tertutup: Jika

Ambil

 Memenuhi stabilitas terhadap identitas:

Karena S dan T adalah subgrup-subgrup dari

Jadi,

 Memenuhi stabilitas terhadap invers:

Ambil
Karena G komutatif,

Karena S dan T adalah subgrup,

Jadi,
Karena memenuhi ketiga syarat tersebut, maka ST adalah subgrup dari grup komutatif

G, di mana S dan T adalah subgrup-subgrup dari G

2. S dan T masing-masing subgrup dari G. Apakah merupakan subgrup G?!

Misalkan G = Z ( grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan)
Misalkan { } (subgrup dari Z berisi bilangan bulat genap)

Misalkan { } (subgrup dari Z berisi bilangan bulat kelipatan 3)
Dalam kasus di atas:

 { } { } { }

 Namun, tidak memenuhi syarat-syarat untuk menjadi subgrup dari Z:
Misalnya,

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 13