Page 12 - Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1

k + 2 3k + 2
=
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
Kedua ruas dari ( + 1) sama, maka ( + 1) bernilai benar. (Langkah induktif

selesai)
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi
( n n + 1)
matematis terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + = untuk sebarang bilangan
2
asli ≥ 1.

Contoh 3.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
n
 1 = n
i= 1 (2i − 1)(2i + 1) 2n + 1
untuk setiap n bilangan asli.
Jawab

n
Misalkan P(n) =  1 = n
i= 1 (2i − 1)(2i + 1) 2n + 1
• Langkah dasar
Akan ditunjukkan bahwa (1) bernilai benar.
Ambil n = 1, diperoleh
=
P (1) = 1 1
(2(1) −1)(2(1) +1) 2(1) +1
1 1
=
3 3
Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai)

• Langkah Induktif
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli = ≥ 1, jika ( ) bernilai
benar maka ( + 1) juga bernilai benar.
Misalkan bahwa ( ) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli =
≥ 1, yaitu
k
P ( ) k =  1 = k
i= 1 (2i − 1)(2i + 1) 2k + 1
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk = + 1 maka ( + 1) juga bernilai
benar, yaitu
k+
( P k + 1) =  1 1 = k + 1 = k + 1
+
i= 1 (2i − 1)(2i + 1) 2(k + 1) 1 2k + 3
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

 k+ 1 1  k 1  k+ 1 1
+
=
=
i= 1 (2i − 1)(2i + 1) i= 1 (2i − 1)(2i + 1) i k+ 1 (2i − 1)(2i + 1)
k
P ( )
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 12