Page 20 - Производная_Ф
P. 20

стационарной точке скорость изменения функции равна нулю, то есть функция ¾на мгнове-
          ние¿ перестаёт меняться.
             Стационарные точки могут быть трёх видов.
             1. Точка максимума.
                На рис. 13 точка x = a является точкой максимума функции f(x): значение функции в
                точке a больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.

                                             Y



                                                      M







                                                                        y = f(x)

                                                       a                      X


                                               Рис. 13. Точка максимума

                Касательная в точке M горизонтальна, то есть образует нулевой угол с осью X. Поэтому
                 0
                f (a) = 0.
                При переходе через точку a тенденция меняется: возрастание функции сменяется убы-
                ванием. Иными словами, производная меняет знак с (+) на (−)   это признак точки
                максимума.

             2. Точка минимума.
                На рис. 14 точка x = b является точкой минимума функции f(x): значение функции в
                точке b меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.

                                             Y


                                                                        y = f(x)






                                                      N



                                                       b                      X


                                               Рис. 14. Точка минимума

                                                                             0
                Касательная в точке N также горизонтальна. Поэтому f (b) = 0.
                При переходе через точку b тенденция также меняется: убывание функции сменяется
                возрастанием. Производная меняет знак с (−) на (+)   это признак точки минимума.

                Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Таким об-
                разом, точки экстремума   это точки изменения тенденции поведения функции; в точке
                экстремума возрастание сменяется убыванием или наоборот.


                                                            19
   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24