Page 23 - Производная_Ф

Число e иррационально, то есть является бесконечной непериодической десятичной дробью.
Первые пятнадцать знаков после запятой запоминаются просто: сначала надо помнить 2,7,
потом два раза год рождения Льва Толстого, потом углы равнобедренного прямоугольного
треугольника :-)
Нам понадобится несколько иной вид второго замечательного предела. Укажем лишь нефор-
мальную идею его получения. Из (23) следует, что при малых t выражение (1+t) 1/t близко к e;
t
t
t
значит, 1 + t близко к e ; значит, e − 1 близко к t; значит, (e − 1)/t близко к 1. Таким образом,
t
e − 1
lim = 1. (24)
t→0 t
В школьной программе число e остаётся несколько в стороне, но при изучении высшей
математики и физики вы увидите, сколь велика на самом деле его роль. Чем же число e так
x
замечательно? Оказывается, производная функции e (которая называется экспонентой) равна
самой этой функции:
x
x 0
(e ) = e . (25)
Данную формулу получить нетрудно. Имеем:

x
e x+∆x − e x e (e ∆x − 1) e ∆x − 1
x 0
x
x
(e ) = lim = lim = e lim = e ,
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
поскольку последний предел есть не что иное, как второй замечательный предел (24).
Натуральный логарифм это логарифм по основанию e. Для него имеется специальное
обозначение ln:
ln x = log x.
e
Производная экспоненты и правило дифференцирования сложной функции позволяют по-
x
лучить производную показательной функции a . Нужно воспользоваться тем, что a = e ln a :
x 0
0
x
(a ) = (e x ln a 0 x ln a (x ln a) = a ln a.
) = e
Получили ещё одну табличную производную:
x 0
x
(a ) = a ln a.
А чему равна производная натурального логарифма? Давайте воспользуемся следующим
приёмом. Пусть y = ln x. Выразим отсюда x:

y
x = e ,
и продифференцируем по x обе части полученного равенства:

y 0
1 = e y .
Отсюда
1 1
0
y = = .
e y x
Итак,
1
0
(ln x) = .
x
Теперь оказывается возможным доказать давно выписанную формулу (13). Имеем:
a
a
a 0
0
) = e
(x ) = (e a ln x 0 a ln x (a ln x) = x · = ax a−1 .
x
22