Page 6 - Производная_removed (1)_Neat

1.4 Определение производной

Скорость бывает не только у автомобиля. Мы можем говорить о скорости изменения чего угод-
но например, физической величины или экономического показателя. Производная как раз
и служит обобщением понятия мгновенной скорости на случай абстрактных математических
функций.
Рассмотрим функцию y = f(x). Напомним, что x называется аргументом данной функции.
Отметим на оси X некоторое значение аргумента x, а на оси Y соответствующее значение
функции f(x) (рис. 4).

Y
y = f(x)

f(x + ∆x)

∆f

f(x)

∆x
x x + ∆x X

Рис. 4. Приращение аргумента и приращение функции

Дадим аргументу x некоторое приращение, обозначаемое ∆x. Попадём в точку x + ∆x.
Обозначим её на рисунке вместе с соответствующим значением функции f(x + ∆x).
Величина
∆f = f(x + ∆x) − f(x) (11)

называется приращением функции, которое отвечает данному приращению аргумента ∆x.
Вы видите сходство с предыдущим пунктом? Приращение аргумента ∆x есть абстрактный
аналог промежутка времени ∆t, а соответствующее приращение функции ∆f это аналог
пути ∆s, пройденного за время ∆t. Но на этом аналогия не заканчивается. Производная это
в точности аналог мгновенной скорости.
0
Определение. Производная f (x) функции f(x) в точке x это предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

∆f f(x + ∆x) − f(x)
0
f (x) = lim = lim . (12)
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

Сравните с формулами (8) и (9). По сути написано одно и то же, не правда ли? Можно
сказать, что производная это мгновенная скорость изменения функции.

Нахождение производной функции называется дифференцированием. Нам предстоит на-
учиться дифференцировать различные функции. Прежде всего мы возьмём несколько простых
функций и найдём их производные непосредственно по определению, то есть с помощью фор-
мулы (12).

6