Page 10 - Производная_removed (1)_Neat

функция f(x) непрерывна в данной точке, если её приращение в этой точке стремится к
нулю при ∆x → 0:
lim ∆f = 0. (17)
∆x→0
Идём дальше. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если она имеет про-
изводную в этой точке (то есть предел (12) в данной точке x существует).
Может ли непрерывная функция не быть диффе-
ренцируемой? Да, такое возможно. Классический при- Y
мер: функция f(x) = |x| не имеет производной в точке
x = 0. График этой функции изображён на рис. 5. y = |x|
Приращение функции:

∆f = |x + ∆x| − |x|.

В точке x = 0 имеем: X

∆f = |∆x|.
Рис. 5. График функции y = |x|

Почему производная в нуле не существует? Давайте рассмотрим два случая: ∆x стремится
к нулю сначала со стороны положительных чисел (то есть справа), а затем со стороны отрица-
тельных чисел (то есть слева).

1. ∆x → 0, x > 0. Тогда ∆f = ∆x, то есть

∆f
= 1.
∆x

2. ∆x → 0, x < 0. Тогда ∆f = −∆x, то есть

∆f
= −1.
∆x

В результате получается, что отношение ∆f/∆x ни к какому пределу не стремится. В самом
деле, устремим ∆x к нулю так, чтобы знак ∆x попеременно менялся (например, ∆x пробегает
значения 1; −0,1; 0,01; −0,001; . . . ). Тогда дробь ∆f/∆x будет попеременно принимать значения
1 и −1, а такая знакочередующаяся последовательность, как мы видели выше, предела не имеет.
Следовательно, функция f(x) = |x| не имеет производной в точке x = 0.
Таким образом, непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Точка излома
графика функции типичный пример точки, в которой функция не является дифференциру-
емой. Именно такой точкой излома служит точка (0, 0) на графике функции y = |x|.
А как насчёт обратного утверждения? Оказывается, дифференцируемость более силь-
ное свойство, чем непрерывность. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она
непрерывна в этой точке.
Действительно, пусть функция f(x) имеет производную в точке x. Тогда отношение ∆f/∆x
стремится к некоторому числу при ∆x → 0. Но ∆x стоит в знаменателе этого отношения;
поэтому для существования предела необходимо, чтобы и числитель стремился к нулю. (А куда
деваться числителю? Ведь если при знаменателе, стремящемся к нулю, числитель к нулю не
стремится, то дробь уйдёт в бесконечность вместо того, чтобы приближаться к какому-то
фиксированному значению.) Стало быть, ∆f → 0 при ∆x → 0; но это и означает согласно (17)
непрерывность функции в точке x.

10