Page 12 - Производная_removed (1)_Neat

(производная константы −10 равна нулю!).

0
0
0
2. Дифференцирование произведения. (uv) = u v + uv .
Давайте разбираться, почему это так. Обозначаем f(x) = u(x)v(x). Тогда:
∆f = f(x + ∆x) − f(x) = u(x + ∆x)v(x + ∆x) − u(x)v(x) =
= (u(x) + ∆u)(v(x) + ∆v) − u(x)v(x) =
= u(x)v(x) + v(x)∆u + u(x)∆v + ∆u∆v − u(x)v(x) =
= v(x)∆u + u(x)∆v + ∆u∆v.

Далее имеем:

v(x)∆u + u(x)∆v + ∆u∆v ∆u ∆v ∆u
0
f (x) = lim = lim v(x) + u(x) + ∆v .
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x ∆x
0
0
Первое слагаемое стремится к u (x)v(x). Второе слагаемое стремится к u(x)v (x). К чему
0
стремится третье слагаемое ∆u ∆v? Дробь ∆u в пределе даёт число u (x), а множитель ∆v
∆x ∆x
стремится к нулю, поскольку функция v(x) дифференцируема в точке x и потому непрерывна
в этой точке. Так что третье слагаемое стремится к нулю. В результате получаем:
0
0
0
f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x),
в чём и хотелось убедиться.
Вот пример дифференцирования произведения:

0
2 0
0
2
2
2
(x sin x) = (x ) sin x + x (sin x) = 2x sin x + x cos x.
А вот как получается правило 0:
0
0
0
0
(cu) = c u + cu = cu ,
0
поскольку c = 0.
3. Дифференцирование частного.
u u v − uv
0 0 0
= .
v v 2
Выведем эту формулу. Обозначим

u(x)
f(x) = .
v(x)
Тогда:

u(x + ∆x) u(x) u(x) + ∆u u(x) v(x)∆u − u(x)∆v
∆f = − = − = ,
v(x + ∆x) v(x) v(x) + ∆v v(x) v(x)(v(x) + ∆v)
∆f v(x) ∆u − u(x) ∆v
= ∆x ∆x ,
∆x v(x)(v(x) + ∆v)
0
0
v(x) ∆u − u(x) ∆v u (x)v(x) − u(x)v (x)
0
f (x) = lim ∆x ∆x = .
2
∆x→0 v(x)(v(x) + ∆v) v (x)
Слагаемое ∆v в знаменателе обратилось в нуль при переходе к пределу вследствие непрерыв-
ности функции v(x).

12