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ただし ，Jg;~ は観測可能な植物全体の二酸化炭素取り込 み量であり， αk，Lkは k番目の細胞の大きさと時間遅 れである. 2番目の仮定は，葉肉細胞と維管束組織間の 同期状態が斑模様であることを示した Rascherらの結 果 [5]や維管束と葉肉の概日時計が階層的にカップリン グしていることが C3植物であるシロイヌナズナの実験 により示されている Takahashiらの結果から細胞聞が 時間遅れを伴ったリズムを持っていることを根拠として し=る.
CO2取り込み量の時間遅れ系列の推定問題をつぎの ように定義する.
次式の目的関数 P(t)を最小にするように， 決定変数 Lk'sと&山を決定せよ.
P(t)=(J~~~(t) -j~~~(t))2 (3) J広(t)=LâkJ~o2(tーん) • (4)
3 慣性項付き最適化アルゴリズム 3.1 勾配計算
連続時間最適化計算の場合には，時間 tは実際の時間 ではなく，アルゴリズムの推定過程を表わす.時間関数 x(t)の関数 f(x(t)の勾配と時間導関数の関係は次式と なる
信号 x(t)の 1階導関数である土の推定は適応オブザー パ内のパラメータ調整則によって与えられる.
企=-k(x-x)+()l(t)-E(t)sgn(x-x) (8) ()(t) = -γ (t)(x(t) - x(t) ) (9) E(t)=Ix(t)-x(t)1 (10)
df(x(t) ) dx(t)
必 pi 等泣
(5)
の 出 力 を 用 い る が ， d'(t) に つ い て は ， 2 階 非 線 形 微 分 方程式の求解アルゴリズムを用いることで時間導関数推 定器を使う必要はない.さらに収束性の向上のために， d'(t)にフィードバック項を付け加えた次のアルゴリズ ムに修正する. J
d"(快 (14)
このアルゴリズムを Simulinkで実現したものを図 2に示 す.図中の日"から "dxjdt"へのフィード、バックが Eq.(14) の第 2項を表している.
図 2:Simulinkによるリアルタイム最適化器
したがって，f(t)の時間導関数と x(t)の時間導関数の 比が勾配となることから，この 2つの時間導関数を時系 列データから推定することにより，勾配を推定すること ができる
3.2 時間導関数を推定する適応オブザーパの構成 x(t)の時間導関数の推定器の場合の推定対象は，次式
になる [10].
x(t)=()(t)，xE Rl，()εR1 時変ノ号ラメータ ()(t)は以下の式で表されるものとする.
。(t)=()o+ε (t) (6) ここで ()oは未知定数であり， ε(t)の上限は，
ε|(t)I三εo (7)
で表され，ここで εoは既知定数であると仮定する.
d'(t)=
ここで k>Oである
俳一
3.3 適応オブザ一パを用いた慣性項付き連続時間慣性 付き最適化法
P を目的関数，dを決定変数としたとき，目的関数の 最適値(最小値)を求める連続時間慣性項付き最適化は 次式で与える.
d勺 )+α d'(t) = c¥1P(d(t) ) = cPd(d(t) ) (12)
ただし，d"(t)はd(t)の時間に関する 2階導関数，d'(t) は時間に関する 1階導関数，Pd(d(t)は P の dに関す る 1階導関数である.これを，時間導関数を用いて変形 すると次式となる.
d勺)=ーαd'(t)-cP'(d(t)jd'(t) (13) ここで，P'(d(t)は適応オプ、ザーパのパラメータ推定値
時間導関数の推定値は次式となる.
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