Page 19 - Buku Paket Kelas 11 Matematika
P. 19
a) Langkah Awal:
Untuk n = 0, diperoleh, 1 = 20 + 1 – 1. Jadi P(0) benar.
b) Langkah Induksi:
Pada langkah awal diperoleh P(0) benar, akibatnya P(1) benar, 1 + 2 = 21 + 1 – 1.
Oleh karena itu disimpulkan bahwa, untuk n = k,
P(k) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k = 2k + 1 – 1.
Selanjutnya akan ditunjukkan, jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar. Dari P(k) kita peroleh,
1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k = 2k + 1 – 1.
Kemudian kedua ruas ditambahkan 2k + 1, akibatnya
1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k + 2k + 1 = 2k + 1 – 1 + 2k+1
= 2.2k + 1 – 1 = 2(k + 1) + 1 – 1
Diperoleh bahwa P(k + 1) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2k + 1 = 2(k + 1) + 1 – 1 adalah benar, untuk setiap k bilangan bulat positif.
Karena P(n) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2n = 2n + 1 – 1 memenuhi kedua prinsipinduksimatematika,makaformulaP(n)=1+2+22 +23 +24 +...+2n = 2n + 1 – 1 adalah benar, dengan n bilangan bulat psotif.
Contoh 1.3
Untuk setiap bilangan asli, dengan n ≥ 1 berlaku: 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n .
1(2) 2(3) 3(4) 4(5) n(n+1) (n+1) Buktikan dengan induksi matematika
Alternatif Penyelesaian:
Kita misalkan, P(n) = 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 = 1(2) 2(3) 3(4) 4(5)
n . n(n+1) (n+1)
Akan ditunjukkan bahwa P(n) memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu langkah awal dan langkah induksi.
MATEMATIKA 11
