Page 238 - chapter 1

238
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

3. ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ (ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ)
Αν οι συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες στο (α, + ), α>0
για τις οποίες ισχύουν
● lim ((x-2)f(x)-(2x+1)g(x))=5
x +

● lim ((x+1)f(x)-(2x+3)g(x))=4
x +
Να βρείτε, με τη προυπόθεση ότι υπάρχουν, τα όρια
● lim f(x) ● lim g(x)
x +
x +

Θέτουμε (x-2)f(x)-(2x+1)g(x)= h(x)
(x+1)f(x)-(2x+3)g(x)= p(x)

τότε
D = (x-2) - (2x+1) =(x+1)(2x+1)-(x-2)(2x+3)=
(x+1) - (2x+3)

2
= 2x 2 + x+2x +1- 2x - 3x +4x+6 = 4x+7
D = h(x) -(2x+1) = h(x)(-2x-3)-p(x)(-2x-1)
f(x) p(x) -(2x+3)

D = (x-2) h(x) = p(x)(x-2)-h(x)(x+1)
g(x) (x+1) p(x)

Έτσι
D h(x)(-2x-3)-p(x)(-2x-1)
f(x)= f(x) =
D 4x+7

3 1
h(x)(-2- )-p(x)(-2- )
( δια x)
= x x
4+ 7
x
2 1
D p(x)(x-2)-h(x)(x+1) ( δια x) p(x)(1- )-h(x)(1+ )
g(x)= g(x) = = x x
D 4x+7 4+ 7
x
Συνεπώς
1
h(x)(- 2- 3 )-p(x)(- 2- )
lim f(x)= x x = 5(- 2)-4(- 2) =- 1
x + 7 4 2
4+
x
2 1
p(x)(1- )-h(x)(1+ )
lim g(x)= x x = 4-5 =- 1
x + 7 4 4
4+
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017