Page 319 - chapter 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης 319

3. ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΛΥΣΗ)
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = lnx + e
χ
και πεδίο ορισμού το (0, 1].
● Να βρεθεί το σύνολο των τιμών της f.
● Να δειχτεί ότι η εξίσωση lnx + e = 0
χ
έχει μία ακριβώς λύση στο διάστημα (0, 1).

● Η f είναι συνεχής στο
(0,1] σαν άθροισμα συ-
νεχών συναρτήσεων
Επίσης
για κάθε x 1, x 2 (0, + )
μ ε x 1 < x 2 ισχύει:
● lnx 1 < lnx 2 και

● e x 1 <e x 2
Προσθέτοντας κατά μέ-
λη τις πιο πάνω ανισότ η -
τες παίρνουμε:

lnx 1 + e x 1 < lnx 2 + e x 2 `
f(x 1) < f(x 2)
που σημαίνει πως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ),
άρα και στο (0, 1].

Επειδή
● lim f(x)= lim (lnx+e )=- και
x
x 0 + x 0 +
● f(1) = ln1 + e = 0 + e = e
το σύνολο τιμών της f είναι:
f(A) = ( lim f(x), f(1)] = (- , e]
x 0 +

● Η f είναι συνεχής στο (0, 1] σαν άθροισμα συνεχών συναρ-
τήσεων.
Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f.
Οπότε απ’ το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών υπάρχει ένα του-

λάχιστον x 0 (0,1) τέτοιο ώστε f(x 0) = 0 και
επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το x 0 είναι μοναδικό .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017