Page 41 - E-Modul Interaktif Matematika Trigonometri (Khoiriana N R)_Classical

E-Modul Matematika Aturan Sinus dan Cosinus

PEMBUKTIAN

Gunakan segitiga pada permasalahan ilustrasi untuk membuktikan aturan cosinus.

 Perhatikan segitiga ABC pada gambar 2.4, dengan sisi AB atau sisi c, sisi BC atau sisi a dan sisi
CA atau sisi b. Tarik Garis tinggi dari A ke sisi BC (a) sehingga diperoleh garis tinggi AD. Sisi
a, c, dan sudut B diketahui akan dicari sisi b

 Pada segitiga siku-siku ADC : A b C

Dengan menggunakan teorema Pythagoras

diperoleh :
a
2
2
2
= + ……….(*) c
 Pada segitiga siku-siku ADB :
D
Dengan menggunakan definisi perbandingan

B
trigonometri diperoleh :

AD Gambar 2.4
sin =
c

↔ AD = × sin ………………….(**)
c

BD

cos =
c

↔ BD = c × cos

Perhatkan bahwa, DC = BC – BD, subsitusikan BD = c cos , sehingga diperoleh :

DB = a - c cos ………………….(***)

Dengan mensubsitusikan (**) dan (***) ke (*) diperoleh hubungan :

2
2
2
= +
2
2
2
= ( . sin ) + ( − . cos )
2
2
2
2
2
2
= . + − 2 . cos + .
2
2
2
2
2
2
= . + . + − 2 . cos
2
2
2
2
2
= ( + ) + − 2 . cos
2
2
2
= (1) + − 2 . cos

= + − 2 . cos
2
2
2

Sehingga untuk mencari sisi b jika diketahui sisi a dan c serta sudut diantara kedua sisi yang

diketahui (sudut B), kita dapat menarik garis tinggi ke salah satu sisi yang diketahui dan

diperoleh rumus persamaan aturan cosinus : = + − .