Page 14 - Echte wiskunde

2 P.W. Hemker
1.1 Inleiding 1.1.1 Begin
De meetkunde is de wiskunde die zich bezighoudt met vormen, zoals punten, rechte lijnen, kromme lijnen, cirkels, vlakken, kubussen, enz.. We gaan dat nu op een echte wiskundige manier aanpakken en we beginnen met bepalingen (ook wel definities genoemd) om af te spreken wat we met bepaalde woorden precies bedoelen.
Bepaling 1.1.1. Een lichaam is een begrensd deel van de ruimte. Voorbeeld 1.1.2. Een bol. Een cylinder.
Bepaling 1.1.3. Een oppervlak of een vlak is de begrenzing van een li- chaam.
Voorbeeld 1.1.4. Het bovenvlak, ondervlak of het zijvlak van een cylin- der.
Bepaling 1.1.5. Een lijn is de grens van een oppervlak.
Voorbeeld 1.1.6. De grens van het bovenvlak van een cylinder is een
cirkel.
Bepaling 1.1.7. Een punt is de grens van een lijn(stuk). Een lijn is gedacht samengesteld te zijn uit punten.
Bepaling 1.1.8. Een figuur is een samenstel van lichamen, vlakken, lijnen en punten. Deze behoeven niet allemaal voor te komen.
Een bol
Een cylinder
De eenvoudigste soort lijn die we kennen is de rechte lijn. Denk aan: een gespannen draad, een zonnestraal of de rand van een lineaal. Tussen twee punten volgt de rechte lijn de kortste weg.
We moeten bij het opbouwen van de meetkunde uitgaan van een paar waarheden die we niet behoeven te bewijzen, maar die iedereen als waarheid kan aannemen. Zo’n waarheid noemen we een axioma.
Axioma 1.1. Door twee punten gaat één en slechts één rechte lijn. In de wiskunde zeg je meestal “één en slechts één” als je “precies
één” bedoelt. Axioma 1: rechte lijn
Voor het gemak bedoelen we in het vervolg met lijn altijd een rechte lijn. Als een lijn niet recht is spreken van een kromme of gebogen lijn. We denken een rechte lijn altijd aan beide kanten oneindig ver doorlopend.
Bepaling 1.1.9. Een punt verdeelt een lijn in twee halve lijnen.
Bepaling 1.1.10. Een lijnstuk is een stuk van een lijn, begrensd door twee van zijn punten.
Een lijnstuk kunnen we naar twee zijden verlengen. Vanwege Axioma 1.1 gaat dat verlengen slechts op één manier.
Bepaling 1.1.11. Een plat vlak is een zodanig oppervlak dat elke rechte lijn die er twee punten mee gemeenschappelijk heeft, er geheel in ligt.