Page 159 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 147 Nu zijn de middelpuntsvergelijkingen te schrijven als:
[ ∂f]
x′i ∂x = 0, (i = 1, 2, 3).
1p
Is in één van de gevallen I, II of III een middelpunt M bekend, dan kan men de bekende term b00 in de vereenvoudigde vergelijking eenvoudig berekenen. Laat de oorspronkelijke vergelijking zijn f(x1,x2,x3) = 0, de vereenvoudigde vergelijking f′(x′1,x′2,x′3) = 0, zodat f(x1,x2,x3) = f′(x′1, , x′2, , x′3, ). In het nieuwe coördinatenstelsel is M de oorsprong, dus
b00 = f′(0, 0, 0) = f′(m′1, m′2, m′3) = f(m1, m2, m3). 4.8 Algebraïsche krommen
Definitie 4.8.1. Een algebraïsche kromme K van de graad n is de meetkundige plaats van de punten die voldoen aan een algebraïsche vergelijking van de graad n in x1 en x2.
f(x1,x2) ≡ fn(x1,x2) + fn−1(x1,x2) + ... + f1(x1,x2) + f0 = 0 (4.32) fk(x1,x2) is een homogene veelterm van de graad k in x1 en x2. Wij bepalen het snijpunt van
de lijn l(⃗x) = p⃗ + λ⃗a met de kromme:
f(p1 + λa1,p2 + λa2) = λnfn(a1,a2) + ... = 0 (4.33)
Bij iedere wortel λ vinden wij een snijpunt van K met l door te substitueren in ⃗x = p⃗ + λ⃗a. De coëfficiënt van λn hangt alleen van de richting af. Voorlopig zonderen wij de richtingen waarvoor fn(a1, a2) = 0 is, uit. De vergelijking (4.33) heeft dan n wortels (als iedere wortel voldoende vaak geteld wordt).
Ter vereenvoudiging stellen wij, dat de kromme K door O gaat, d.w.z. f0 = 0. Snijd K met ⃗x = λ⃗a.
λnfn(a1, a2) + λn−1fn−1(a1, a2) + . . . + λf1(a1, a2) = 0 Hoe vaak telt O als snijpunt? Slechts eenmaal als f1(a1, a2) ̸= 0.
f1(x1, x2) = d1x1 + d2x2 .
(4.34)
I d1 en d2 niet beide nul, bijv. d1 ̸= 0. Dan f1(a1, a2) = 0 als a1/a2 = −d2/d1.
Conclusie: een willekeurige lijn door O heeft een enkelvoudig snijpunt; op één lijn is het snijpunt echter meervoudig. Deze lijn heet de raaklijn.
II fj(x1,x2) ≡ 0 voor j = 1,2,...,k − 1 en fk(x1,x2) ̸≡ 0 . Nu wordt (4.34) λnfn(a1,a2) + ··· + λkfk(a1,a2) = 0
Conclusie: Een willekeurige lijn door O heeft een k-voudig snijpunt; op hoogstens k ver- schillende lijnen (de raaklijnen) telt het snijpunt meer dan k-voudig.
In geval I heet O een enkelvoudig punt van de kromme en in geval II een k-voudig punt van de kromme. De vergelijking van de raaklijn in geval I is d1x1 + d2x2 = 0. In geval II vindt men de raaklijnen uit de vergelijking fk(x1,x2) = 0