Page 158 - Echte wiskunde

146
P.W. Hemker
4.7 Herleiding van de algemene vergelijking van de kwadriek
De vergelijking
niet nul zijn:
I λ1x21+λ2x2
II λ1x21+λ2x2
III λ1x21+λ2x2
IV λ1x21+λ2x2
V λ1x21+λ2x2
VI λ1x21+2bx2
VII λ1x21+a
+ λ 3 x 23 + a + λ 3 x 23
+ 2bx3 +a
a ̸= 0.
b>0 a ̸= 0.
b>0 a ̸= 0.
Algemene middelpuntskwadriek
(ellipsoïde, tweeblad, halsvlak of nul- delig)
Kegel eendelig of nuldelig Paraboloïde
(elliptisch of hyperbolisch)
Ascylinder
(elliptisch, hyperbolisch of nuldelig)
Twee snijdende vlakken
(reëel of toegevoegd complex)
Parabolische cylinder
Twee evenwijdige vlakken (reëel of toegevoegd complex) Dubbeltellend vlak
3 4
3 3 2 4
2 3 2 2
1 3 1 2
1 1
∑3 i,k=1
∑3 j=1
Type Rang A A0
aikxixk + 2
kan volgens (4.21) en (4.22) op een der volgende vormen gebracht worden, waarin λ1, λ2 en λ3
a0,jxj + a00 = 0
(4.31)
VIII λ 1 x 21
In geval I is detA = λ1λ2λ3, detA0 = λ1λ2λ3a, dus a = detA0 .
√ detA In geval III is detA0 = −b2λ1λ2, dus b = detA0 .
λ1 λ2
De richtingen van de nieuwe assen zijn de eigenvectoren van A. De nieuwe oorsprong is het
middelpunt van de kwadriek. Als een kwadriek een middelpunt heeft is dat direct te bepalen. Verschuift men namelijk eerst het assenstelsel, dan kan men de eerstegraadstermen doen ver-
dwijnen.
∑∑′ f(x1,x2,x3) = aikxixk + 2 a0jxj + a00 en xi = xi + pi
i,k j
′′′∑′′∑′ f(x1,x2,x3) = aik(xi + pi)(xk + pk) + 2 a0j(xj + pj) + a00
∑′′∑′∑∑′∑
= aikxixk + 2 aikpixk + aikpipk + 2 a0kxk + 2 a0kpk + a00
i,k i,k i,k k k
Termen van de eerste graad: 2 ∑ aikpix′ + 2 ∑ a0kx′ = 2 ∑ (∑ aikpi + a0k)x′ .
i,k j
∑
i,kkkkki k
Deze termen vallen weg, indien
Dit zijn de z.g. middelpuntsvergelijkingen. Iedere oplossing van deze vergelijkingen geeft de
i aik pi + a0k = 0, (k = 1, 2, 3). Andere methode: f(x′1 + p1, x′2 + p2, x′3 + p3) = 0.
coördinaten van een middelpunt.
Pas de formule van Taylor toe in het punt P:
f(p1, p2, p3) +
[ ∂f ∂f ∂f ]
x′1 ∂x
+ x′2 ∂x + x′3 ∂x + termen van de tweede graad 123p