Page 34 - Echte wiskunde

22 P.W. Hemker
1.8 Meetkundige plaatsen
Bepaling 1.8.1. Onder een meetkundige plaats (MP) verstaat men een figuur, waarvan alle punten een zekere eigenschap bezitten, terwijl ook alle punten welke die eigenschap bezitten tot die figuur behoren.
Anders gezegd: een meetkundige plaats is de verzameling van precies alle punten die een bepaalde eigenschap bezitten
1.8.1 Constructies
Veel van de vorige constructies kunnen we formuleren als het vinden van een meeetkundige plaats. Bekijk de volgende opgaven.
Opgave 1.8.2. Construeer de MP van punten die een gelijke afstand bezitten tot twee gegeven punten A en B.
Opgave 1.8.3. Construeer de MP van punten die een gelijke afstand bezitten tot de benen van een hoek.
Opgave 1.8.4. Construeer de MP van punten die een gelijke afstand bezitten tot twee snijdende lijnen.
Opgave 1.8.5. Construeer de MP van punten die een gelijke afstand bezitten tot twee evenwij- dige lijnen.
Opgave 1.8.6. Construeer de MP van punten die een gegeven afstand bezitten tot een gegeven lijn.
Opgave 1.8.7. Construeer de MP van punten die een gegeven afstand bezitten tot een gegeven punt.
1.8.2 De cirkel
Door wat we nu weten, kunnen we de definitie van middelloodlijn (bepaling 1.1.18) vervangen door een mooiere definitie die equivalent is 16 met de vorige:
Bepaling 1.8.8. De middelloodlijn is de MP van punten met een vaste afstand tot twee punten A en B.
Evenzo kunnen we de definitie van de cirkel (bepaling 1.1.13) nu vervangen door een equiva- lente,
Bepaling 1.8.9. De cirkel is de MP van punten met een vaste afstand tot een vast punt M.
Gevolg 1.8.10. Uit Bepaling 1.8.8 en Bepaling 1.8.9 volgt meteen dat het middelpunt van een cirkel die door twee punten A en B gaat, op de middelloodlijk van AB ligt. Hiermee kun je eenvoudig de volgende twee stellingen afleiden.
Stelling 1.8.11. Door drie niet-collineaire17 punten gaat één en slechts één cirkel.
16equivalent betekent gelijkwaardig, ‘precies even goed’. 17collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte lijn liggen