Page 38 - Echte wiskunde

26 P.W. Hemker
Stelling 1.8.22. Een buitenomtrekshoek is het halve verschil van de bogen tussen de benen. Gegeven: Punten A, B C en D op cirkel met middelpunt P ;
Te bewijzen: Met Q het snijpunt van DA en CB geldt:
∠AQB = 1 (∠APB − ∠DPC) 2
Bewijs: Zie de figuur bij Stelling 1.8.21. Noem ∠AP B = 2γ, ∠DP C = 2δ, dan is ∠DQC = 360o − ∠QCS − ∠CSD − ∠SDQ (som der hoeken van vierhoek □QSCD). Door het toepassen van Stelling 1.8.21 en twee maal Stelling 1.8.19 volgt
∠AQB = ∠DQC = 360o − (180o − γ) − (γ + δ) − (180o − γ) = γ − δ.
1.9 Transformaties
In de vlakke meetkunde kennen we twee vormen van transformaties:
1. verplaatsing (verschuiving, draaiing, spiegeling),
2. vermenigvuldiging.
Terwijl bij verplaatsingen alle lengtes gelijk blijven komt vermenigvuldiging neer op het vergroten of verkleinen van een figuur met een vaste factor. We zullen zien dat vaste verhoudingen tussen lijnstukken een belangrijke rol spelen in de planimetrie. Daarom wordt ook de vermenigvuldiging van figuren geïntroduceerd.
Bepaling 1.9.1. Twee figuren die door achtereenvolgende verplaatsingen en vermenigvuldigin- gen in elkaar overgevoerd kunnen worden heten gelijkvormig. Als twee figuren A en B gelijkvormig zijn, schrijven we ook wel A ∼ B.
1.9.1 Verhoudingen van lijnstukken
Stelling 1.9.2. Als vier evenwijdige lijnen uit een bepaalde rechte lijn twee gelijke stukken snijden, dan snijden ze uit iedere snijdende rechte twee gelijke stukken.
P
Q T
R
C DU
Gegeven:
Te bewijzen: PQ = RS.
Bewijs: Teken PT//AB en RU//CD
dan P T = AB want □AP T B is parallellogram (Stelling 1.7.6), en CD = RU want □CRUD is parallellogram (Stelling 1.7.6). Dan geldt dus △PTQ ∼= △RUS (HZH) en dus PQ = RS.
A B
S
AP//BQ//CR//DS en AB = CD.