Page 37 - Echte wiskunde
P. 37
Echte Wiskunde
25
De omtrekshoek.
Stelling 1.8.19. Een omtrekshoek is de halve boog waarop hij staat. Gegeven: Punten A, B en Q op cirkel met middelpunt P .
Te bewijzen: ∠AQB = 1 ∠AP B 2
Bewijs: Noem ∠AQB = α, ∠BQP = β, en S snijpunt van AP en BQ.
∠QBP = β (want △QPB is gelijkbenig).
∠P AQ = ∠P QA = α + β (gelijkbenige driehoek). ∠BSP =∠QSA=180o −(α+β)−α=180o −2α−β
(overstaande hoeken; som der hoeken in △ASQ). ∠APB = 180o − ∠QBP − ∠BSP = 2α
A
(som der hoeken in △BSP).
Gevolg 1.8.20. Vanuit een punt op een cirkel zie je iedere middellijn onder een rechte hoek.
Q
B P
S
Vergelijk stelling 1.7.25.
De binnenomtrekshoek.
Stelling 1.8.21. Een binnenomtrekshoek is de halve som van de bogen tussen de benen.
Gegeven: Punten A, B C en D op cirkel met middelpunt P ;
Te bewijzen: Met S het snijpunt van AC en DB geldt: ∠ASB = 1 (∠APB + ∠DPC) 2
Bewijs: Noem ∠APB = 2γ, ∠DPC = 2δ, dan is ∠ADS = ∠ADB = γ en ∠DAS = ∠DAC = δ (Stelling 1.8.19).
Nu is ∠ASB = 180o −∠ASD = ∠ADS +∠DAS (gestrekte hoek ∠DSB, en som der hoeken in △ADS).
De buitenomtrekshoek.
Q
2δ B C
D
A
2γ S
