Page 47 - Echte wiskunde
P. 47
Echte Wiskunde 35 Gevolg 1.11.8. De machtlijn van twee elkaar snijdende cirkels is de rechte lijn die door de
gemeenschappelijke punten gaat. 25
Stelling 1.11.9 (Machtstelling). Als vier punten A, B, C, D op een cirkel liggen en het snijpint
van AB en CD is P, dan geldt
PA×PB=PC×PD.
AAD B
P
D CC
P
B
Gegeven:
Tebewijzen: PA×PB=PC×PD.
Bewijs: Voor het punt buiten de cirkel geldt △DPA ∼ △BPC omdat ∠P = ∠P en ∠BAD = ∠BCD (stelling 1.8.19). Vanwege de gelijkvormigheid geldt P A : P C = P D : P B en daarom ook qed.
Voor het punt binnen de cirkel geldt △DPB ∼ △APC omdat ∠P = ∠P en ∠BDC = ∠BAC (stelling 1.8.19). Vanwege de gelijkvormigheid geldt PA : PC = PD : PB en daarom ook qed.
Figuur 1.8: Propositie V uit boek II van Euclides’ Elementen, op een papyrusfragment uit de eerste eeuw na Christus.
25In de snijpunten is voor beide cirkels de macht 0.
A,B,C,D op cirkelM; AB en CD snijden elkaar in P.
