Page 63 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 51
Omkering van een implicatie.
B ⇒ A heet de omkering van A ⇒ B. Soms is de omkering van een juiste implicatie ook nog waar, en soms niet.
Opgave 2.2.5. Ga na, dat A ∧ B hetzelfde betekent als ¬[(¬A) ∨ (¬B)], A ⇒ B hetzelfde betekent als ¬[A ∧ (¬B)],
A ∨ B hetzelfde betekent als (¬A) ⇒ B.
¬(A ∧ B) hetzelfde betekent als (A ⇒ ¬B).
Ga na dat (2 + 1 =4) ∨(3 = 3) en (2 = 3) ∨ (2 = 2) juiste uitspraken zijn.
Beginnelingen protesteren vaak tegen een juiste uitspraak als “3 ≥ 3”, maar je moet bedenken
dat p ≥ q is gedefinieerd als (p > q) ∨ (p = q), of wat hetzelfde betekent, als ¬(p < q). Quantoren.
Laat B(x) een bewering zijn waarin op één of meer plaatsen de letter x optreedt en waarin men nog voor x allerlei dingen kan invullen. De letter x heet een variabele. Gemakshalve beperken we ons tot het substitueren van dingen van een nader afgesproken soort, bijv. reële getallen. B(x) is bijv. een uitdrukking zoals x > 3 of x2 = 4 of x2 +2x+1 = (x+1)2.
We gebruiken nu de formule
∀x B(x) ,
om te beweren dat bij elke mogelijke vervanging van de letter x door een ding van de beschouwde soort, de uitdrukking B(x) in een ware bewering overgaat. ∀ heet de universele quantor en ook wel het al-symbool. Evenzo betekent
∃x B(x) ,
dat er minstens één mogelijkheid bestaat om voor x iets te substitueren zodat B(x) een juiste bewering wordt. ∃ heet de existentiële quantor of het existentiesymbool. Als er precies één (één en slechts één) x bestaat zodat B(x) een ware uitspraak is, dan schrijven we
∃!x B(x) .
De letter x heeft altijd betrekking op dingen van een bepaalde soort. Soms geven we dat ook in de formule aan. Als we met x een reëel getal bedoelen, schrijven we bijvoorbeeld
Voorbeeld 2.2.6. :
∀x∈R B(x),
∃x∈R B(x), of ∃!x∈R B(x).
x2+1>0.
x2 +2x+1=(x+1)2. x>0⇒x2 +x>0. x2=4. (x>0)∧(x<1).
(x2 <0)⇒(x=1). (x=1)⇒(x2 <0).
∀x∈R
∀x∈R
∀x∈R
∃x∈R
∃x∈R
∃x∈R
∃x∈R
Al deze uitspraken zijn juist.