Page 61 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 49
omstandigheden. Toch zit er veel gemeenschappelijks in de taal die gebruikt wordt. We wijzen hier slechts op enkele punten, en geven enkele belangrijke notaties.
We gaan –zoals gebruikelijk in de klassieke wiskunde– uit van een twee-waardige logica: iets is waar óf het is onwaar. 1 Er is geen derde mogelijkheid: zoiets als “we kunnen onmogelijk uitmaken of die bewering waar of onwaar is”. Zulke uitspraken (beweringen) vallen buiten de klassieke wiskunde.
Beweringen.
We beschouwen allerlei beweringen, ook wel volzinnen of uitspraken genoemd. Gemakshalve stel- len we vaak een bewering voor door een hoofdletter. Zo’n letter kan evengoed een juiste als een onjuiste bewering voorstellen.
Voorbeeld2.2.1. A=“2+2=4”ofB=“3×6<7”. Ontkenning.
Is B een bewering, dan is ¬B (spreek uit: niet-B) de notatie voor de ontkenning van B. Steeds is òf B òf ¬B waar.
Voorbeeld 2.2.2. “¬(2+2 = 4)” betekent “2+2 ̸= 4” en “¬(3×6 < 7)” betekent “3×6 ≥ 7”.
Conjunctie.
De uitspraak “A en B” (notatie A ∧ B) is slechts waar als A en B beide waar zijn.
Voorbeeld 2.2.3. : “(2+2 = 4)∧(3×3 = 5)” is onwaar; “¬((2+2 = 4)∧(3×3 = 5))” is waar.
Disjunctie.
De uitspraak “A of B” (notatie A ∨ B) is waar als minstens één van beide beweringen A of B waar is.
Voorbeeld2.2.4. :‘‘(2×2=4)∨(3×3=5)”iswaar.
We kunnen dit ook beschrijven met de symbolen die we nu al kennen: A∨B = ¬((¬A)∧(¬B)), of in woorden: ‘A of B’ is dus juist dàn waar als niet beide onwaar zijn.
In de dagelijkse spreektaal wordt “of” vaak (en dan meestal met klemtoon) in uitsluitende zin gebruikt: één van beide maar niet allebei. Als wij dat willen aanduiden, zullen we de zinswending “òf A òf B” gebruiken, maar we voeren daarvoor geen afzonderlijke notatie in.
Implicatie.
De veelgebruikte formule A ⇒ B betekent: “uit A volgt B”. Dat betekent dus: “als A waar is, dan is B ook waar”. Om precies te zijn, A ⇒ B is waar in de volgende drie gevallen: A en B waar; A onwaar en B waar; A onwaar en B onwaar. A ⇒ B is alleen onwaar als: A waar en B onwaar. We zeggen voor A ⇒ B ook vaak: “B volgt uit A” of “uit A volgt B” of “A impliceert B ”.
1Dit is een bijzondere spelregel die we vaak gebruiken in de wiskunde. In het dagelijks leven is die regel niet altijd te hanteren.
0: onwaar 1: waar
A 1 0
A∧B
10 00
B10
A 1 0
A∨B
11 10
B10
A 1 0
A⇒B
10 11
B10