Page 65 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 53
De (straks nog te bespreken) gewoonte om ∀-symbolen aan het begin van een zin weg te laten maakt het vaak moeilijk om het verschil tussen vrije en gebonden variabelen te zien. Die gewoonte houdt immers in dat men met een stuk van een formule de gehele formule bedoelt!
Veelal komen in de wiskunde beweringen voor met verschillende quantoren achter elkaar. Is B(x, y) een uitdrukking die de beide letters x en y bevat, dan kan men bijv. de bewering
∀x∃y B(x, y)
beschouwen. Deze beweert, dat voor elke x de uitdrukking ∃y B(x,y) waar is. Ga na. dat voor
elke uitdrukkingB(x, y)de volgende regels juist zijn:
wordt gevormd door
∀x∃y∀z∃w∃v B(x, y, z, w, v) ∃x∀y∃z∀w∀v ¬B(x, y, z, w, v) .
∀x∀y ∃x∃y ∃x∀y
B(x,y) ⇔ ∀y∀x B(x,y) ⇔ ∃y∃x B(x,y) ⇒ ∀y∃x
B(x,y) , B(x,y) , B(x,y) .
(2.1) (2.2) (2.3)
In (2.1) en (2.2) zien we dat de volgorde bij quantoren van dezelfde soort niet uitmaakt. Daarom schrijven we voor ∀x∀y B(x, y) ook wel ∀x,y B(x, y)] en voor ∃x∃y B(x, y) ook ∃x,y B(x, y) . Daarentegen mag de implicatie (2.3) niet altijd worden omgekeerd. Zo is bijv. ∀y∃x (x > y) juist, maar ∃x∀y (x > y) is onjuist. Op ieder doosje past een deksel, maar er bestaat geen deksel
dat op alle doosjes past.
Van een bewering B(x, y, · · · ) met quantoren ervoor kunnen we op machinale wijze de ontken- ning vormen door de ∀-s door ∃-s te vervangen en omgekeerd, en tevens B door ¬B te vervangen. Ga na, dat de ontkenning van
Opgave 2.2.8. Ga na, of de volgende uitspraken al dan niet juist zijn: 1.∀x∈R∃y∈R∀z∈R [z>x⇒z>y],
2.∃x∈R [x>3⇒∀y∈R [(y>x)∨(y=1)]],
3.∀x∈R∃y∈R∀z∈R x<y<z.
Taalgebruik
Bij het vertalen van ingewikkelde logische formules naar de spreektaal moet men voorzichtig te werk gaan. Men moet een zin bouwen waarin de volgorde der woorden nauwkeurig overeenstemt met de volgorde der logische symbolen (terwijl de gewone omgangstaal meestal vele variaties op de volgorde toelaat). Vaak is het moeilijk, doordat de spreektaal niet de mogelijkheid tot het plaatsen van haakjes heeft.
Deze bezwaren worden vaak ondervangen door het invoeren van nieuwe woorden, die voor een stuk van zo’n formule in de plaats treden. Bijv. de juiste uitspraak
¬∃x [(x>0)∧∀y [(y>0)⇒x≤y]],
die te lezen is als: “er is geen positief getal x dat kleiner is dan elk ander positief getal y”, kan op die manier, door invoering van de term “kleinste positief getal”, worden bekort tot “er is geen kleinste positief getal”. Dezelfde bewering kan ook worden geschreven als een van de formules hieronder:
¬∃x>0 ∀y>0 x≤y,