Page 66 - Echte wiskunde

54
P.W. Hemker
∀x>0 ∃y>0 x>y,
(“bij elke positief getal x is er een positief getal y dat nog kleiner is”).
Vaak laat men bij het vertalen de universele symbolen die aan het begin van een formule
voorkomen, eenvoudig weg. Men zegt bijv.: “het kwadraat een een reëel getal is groter of gelijk 0” i.p.v. “voor elk reëel getal is het kwadraat ≥ 0”. En men zegt (a + b)(a − b) = a2 − b2 i.p.v. ∀a,b (a + b)(a − b) = a2 − b2. In eenvoudige gevallen schrijft men soms de universele operator ook wel achter de bewering. Als universele symbolen met existentiële symbolen gecombineerd worden, mag men er beslist niet zo nonchalant mee omspringen.
De ontkenning van een bewering B vertaalt men het veiligste door: “het is niet waar dat B”. Pas daarna kan men nagaan welke taalkundige vereenvoudigingen die zin toelaat. Vaak wordt de zin onduidelijk in de schrijftaal doordat de betekenis sterk van de intonatie gaat afhangen. In verband met de gewoonte om ∀-symbolen aan het begin van een zin weg te laten, is bijzondere voorzichtigheid geboden. De ontkenning van B(x) is ¬B(x). Bedoelt men echter met B(x) eigen- lijk ∀x B(x), dan is de ontkenning niet ∀x ¬B(x) maar ¬∀x B(x) of, wat hetzelfde is, ∃x ¬B(x). In het laatste geval mag de quantor dus beslist niet worden weggelaten.
Nog enkele voorbeelden van taalkundige bezuinigingen:
∀x∈R [x>0⇒B(x)]
betekent: “Voor alle x geldt, dat als x > 0 is, ook B(x) waar is”. Korter: “Voor alle positieve x
geldt B(x)”. In formule schrijven we ook
∀x>0 B(x) . ∃x∈R [(x > 0) ∧ B(x)]
Evenzo heet:
“Er is een x die aan x > 0 en tegelijk aan B(x) voldoet”. Korter: “Er is een positieve x waarvoor
B(x) geldt”. Of in formule
∃x>0 B(x) .
Een zeker gevaar in de taal schuilt in het woord “is”, dat meestal niet gelijkheid of equivalentie, maar een gecamoufleerde implicatie aanduidt. Laat S(x) de zin “x is een schoorsteenveger” en M(x) de zin “x is een mens” voorstellen. Nu bedoelt men met de zin “Een schoorsteenveger is een mens” te zeggen, dat ∀x [S(x) ⇒ M(x)] en niet dat ∀x [S(x) ⇔ M(x)]. Daarom doen we beter om een iets sterkere formulering te kiezen als we een equivalentie bedoelen.
Merk op, dat een zin als “een hond is geen vis” wèl equivalent is met “een vis is geen hond”, en zelfs met “geen vis is een hond” en “geen hond is een vis” (dit hangt samen met het feit dat de uitspraken A ⇒ ¬B en B ⇒ ¬A hetzelfde betekenen).
De spreektaal kent nog enkele quantoren waarvoor we geen speciaal symbool invoeren. We kunnen ze echter in ∀ ’s en ∃ ’s uitdrukken, en desgewenst uitsluitend in ∀ ’s of uitsluitend in ∃ ’s. We geven er enkele aan met mogelijke vertalingen in formules erbij:
Geen enkele x voldoet aan B(x) ∀x of ¬∃x Niet elke x voldoet aan B(x) ¬∀x of ∃x Hoogstens één x voldoet aan B(x) ¬∃x,y of ∀x,y Eén en slechts één x voldoet aan B(x) ∃x of ∃!x
¬B(x)
B(x)
B(x)
¬B(x) x̸=y∧B(x)∧B(y) (B(x)∧B(y) ⇒ x = y (B(x)) ∧ ∀y[B(y) ⇒ x = y] B(x).