Page 79 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 67
a en b. Gemakkelijk is in te zien, dat c niet afhangt van de speciale keuzen van V en W die we hebben gemaakt. Het product van a en b is gedefiniëerd als de machtigheid van het Cartesische productV ×W.
We kunnen laten zien dat de gewone regels voor de optelling en vermenigvuldiging gelden: a+b = b+a, a+(b+c) = (a+b)+c, ab = ba, a(bc) = (ab)c, a(b+c) = ab+ac. We laten de bewijzen achterwege, maar eigenlijk is het direct duidelijk.
Zijn a en b eindige kardinaalgetallen, dus niet-negatieve gehele getallen, dan stemmen a + b en ab met de ons bekende som en product overeen.
Stellingen als: “bij gegeven a en b is er hoogstens één x met a + x = b”, en “hoogstens één y met ay = b”, gaan echter verloren als men van de eindige kardinaalgetallen op oneindige overstapt. Stellen we de machtigheid der aftelbare verzamelingen door א0 voor, dan is bijv.
א0 + א0 = א0 en ook א0 + 1 = א0 , א0א0 =א0 enook 2א0 =א0.
Om dit in te zien, bedenke men, dat de vereniging van twee aftelbare verzamelingen weer aftelbaar is, resp. dat de vereniging van aftelbaar vele aftelbare verzamelingen weer aftelbaar is.
2.9 Verschillende betekenissen van het woord oneindig
Het woord “oneindig” (aangegeven met het symbool ∞) wordt in de wiskunde in een aantal uiteenlopende betekenissen gebruikt. In sommige gevallen is het eigenlijk overbodig, maar toch wordt het vaak gebruikt en de betekenis is goed bepaald . We geven enkele voorbeelden:
(a) “als n loopt van 1 tot ∞” betekent “∀n∈N”.
(b) “als x loopt van 1 tot ∞” betekent “∀x≥1”.
Eigenlijk blijkt pas uit de context welk van de gevallen (a) of (b) men op het oog heeft. Het feit dat men gehele getallen bij voorkeur met letters als n, m, k, · · · aanduidt, en reële getallen met a,b,··· ,x,y,··· is daarbij een steun.
Je moet vooral niet denken dat het symbool ∞ een getal voorstelt!
(c) “oneindige verzameling”. De betekenis hiervan is in sectie 2.8 uitgelegd.
(d) “oneindig ver punt” betekent in de meetkunde: “een richting”.
(e) “de rechte op oneindig” betekent: de verzameling van alle richtingen in het platte vlak.
(f) “oneindige rij” betekent: een functie gedefiniëerd op de verzameling der natuurlijke getallen. Men kan de functiewaarden rangschikken in dezelfde volgorde als de natuurlijke getallen zelf, en schrijft dan
a1,a2,a3,···
als an het ding voorstelt dat door de functie aan het natuurlijke getal n is toegevoegd.
(g) “oneindige reeks” betekent: een uitdrukking van de vorm
∑∞ i=1
d.w.z. een (aftelbare) rij getallen verbonden door plustekens.
(h) “oneindig interval” betekent: een verzameling reële getallen van de vorm {x | x > a} of {x | x ≥ a} enz.. Om deze intervallen aan te duiden gebruikt men wel vaak het symbool ∞. Het interval x > a wordt met (a, ∞) aangeduid. Ook een symbool −∞ komt hier op het toneel: {x | x < a} wordt met (−∞, a) genoteerd.
(i) Is f de functie, gedefiniëerd door:
∀x̸=1 f(x) = 1 , x−1
a1 + a2 + a3 + · · · of
ai ,