Page 81 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 69
5. Complexe getallen, aangegeven met C. Ontstaan door de z.g. imaginaire getallen toe te voegen.
Imaginaire getallen zijn bedacht om elke vergelijking x2 = a te kunnen oplossen voor een willekeurige a ∈ R. 13
De bovenstaande beschrijvingen suggereren definities te zijn, maar zijn het niet zolang we niet hebben laten zien dat de nieuwkomers kunnen bestaan. Merk op dat “kunnen bestaan” betekent dat het aannemen van het bestaan niet tot inconsistenties leidt.
2.11 ** Augustin Louis Cauchy, een onaangenaam mens **
Augustin Louis Cauchy (1789–1857) werd geboren in Paris op 21 augustus 1789, 38 dagen na de val van de Bastille. Zijn vader was luitenant van politie en een vurig royalist. In verband met de politieke toestand verhuisde de familie al snel naar hun landhuisje in Arceuil (zo’n 6 kilomeer van Parijs) omdat zijn vader het in Parijs levensgevaarlijk vond. Hier kreeg de jonge Cauchy een streng religieuze opvoeding van zijn moeder. Ze hadden het moeilijk in Arceuil, want zijn vader schrijft in een brief: We hebben hier nooit meer dan een kwart brood - en soms zelfs dat niet. Soms kunnen we dat aanvullen met wat crackers en wat rijst dat we toebedeeld krijgen.
Zodra ze konden gingen ze weer naar Parijs terug en Cauchy’s vader hield zich actief met zijn opvoeding bezig. Laplace en Lagrange (twee beroemde wiskundigen) kwamen bij de Cauchy- familie over de vloer, en vooral Lagrange schijnt ook belangstelling te hebben gehad voor de wiskundige opvoeding van de jonge Cauchy. Lagrange raadde zijn vader aan zijn zoon eerst een gedegen talenkennis te laten opdoen voordat hij serieus met de wiskundestudie zou beginnen. In 1802 ging Augustin-Louis naar de École Centrale du Panthéon waar hij twee jaar lang klassieke talen studeerde.
Vanaf 1804 volgde Cauchy lessen in wiskunde en in 1805 legde hij het toelatingsexamen af voor de École Polytechnique in die tijd de beste school ter wereld voor een aankomend wiskundige. Oorspronkelijk opgericht om militaire ingenieurs op te leiden voor Frankrijks Revolutionaire legers, had de school zich ontwikkeld tot een methodisch revolutionair instituut. Onderwijs was gekoppeld aan onderzoek en Frankrijks beste wiskundigen ontwikkelden zuivere wiskunde in discussies met hun studenten en ze lieten hun zien hoe wiskundige theorie en praktijk elkaar voeden en leiden tot nieuwe vindingen. Op de École Polytechnique volgde hij lessen bij Lacroix, de Prony en Hachette en hij kreeg les in de analyse van Ampère. In 1807 deed hij eindexamen en ging hij naar de beroemde ingenieursschool École des Ponts et Chaussées. Hij was een uitstekend leerling en voor zijn praktisch werk moest hij onder leiding van Pierre Girard werken aan het Ourcq Canal project, een van de projecten die Napoleon ondernam om Parijs te moderniseren.
In 1810 kreeg Cauchy zijn eerste baan. Daarvoor moest hij in Cherbourg aan de haveninstalla- ties werken die Napoleon nodig had voor zijn geplande invasie in Engeland. Op reis nam Cauchy een exemplaar mee van Laplace’s Mécanique Céleste en van Lagrange’s Théorie des Fonctions. Het was een drukke tijd voor Cauchy en naar huis schreef hij over zijn dagelijkse activiteiten: Ik sta ’s ochtends om vier uur op en vanaf die tijd ben ik bezig ...ik word niet moe van het werken; in tegendeel, het het geeft me kracht en ik ben in perfecte conditie ....
Cauchy was een devoot katholiek en zijn houding ten opzicht van religie bezorgde hem pro- blemen. In 1810 schrijft hij aan zijn moeder: ze beweren dat mijn devotie er de oorzaak van is dat ik trots, arrogant en zelf-ingenomen word ...ik word nu niet meer lastig gevallen over religie en niemand heeft er het meer over....
13Uit de “hoofdstelling van de algebra” volgt dan dat nu ook de oplossingen van alle polynoom-vergelijkingen xn + a1xn−1 + a2xn−2 + · · · + an = 0, allen tot de complexe getallen behoren.