Page 80 - Echte wiskunde

68 P.W. Hemker
dan is voor x = 1 de functie niet gedefiniëerd. Uit een soort ergernis daarover en in verband met het feit dat f(x) in absolute waarde zeer groot is, als x erg dicht bij 1 ligt, zegt men wel eens “f(1) is oneindig”. Dit is een gevaarlijk gebruik, dat zoveel mogelijk vermeden moet worden. Het lijkt n.l. een uitspraak te zijn over f(1), maar f(1) is niet gedefiniëerd!
(j) “n nadert tot oneindig”. Dit betekent op zichzelf helemaal niets. Slechts zekere samenstellingen hebben betekenis, als: an nadert tot b als n tot oneindig nadert. We zijn gewend te noteren als limn→∞ an = b, wat betekent (12)
∀ε>0 ∃n0∈N n>n0 ⇒|an −b|<ε.
(k) Aan C, het systeem der complexe getallen, voegt men wel eens een extra element toe dat ∞ wordt genoemd. Dit completeert het complexe getallenvlak tot de z.g. complexe bol. Evenzo voegt men wel eens aan het systeem der reële getallen twee nieuwe elementen toe, n.l. −∞ en +∞ waardoor, het z.g. systeem der gegeneraliseerde reële getallen ontstaat.
2.10 Ontwikkeling van het getalbegrip
Oorspronkelijk betekende het woord “getal” gewoon “aantal”, of –in wiskundetaal– “natuurlijk getal”. Langzamerhand is men de betekenis van het woord ‘getal’ gaan uitbreiden. Tegenwoordig is de betekenis van het woord getal tot stilstand gekomen, om “complex getal” aan te duiden. In veel gevallen zal men het echter nog in beperkter zin gebruiken. Welke zin dat is, blijkt meestal uit het verband. We onderscheiden de volgende getallenverzamelingen:
1. Natuurlijke getallen (1,2, 3 ,...), aangegeven met N. Sommige auteurs rekenen ook de 0 tot de natuurlijke getallen; wij zullen dit niet doen. Wij gebruiken de notatie N0 = {x | x ∈ N∨x = 0}.
2. Gehele getallen, aangegeven met Z. Ontstaan door de negatieve gehele getallen -1, -2, ...en de 0 aan het systeem der natuurlijke getallen toe te voegen.
De negatieve getallen zijn bedacht om alle vergelijkingen a + x = b te kunnen oplossen, voor willekeurige natuurlijke getallen a en b.
3. Rationale getallen, aangegeven met Q. Ontstaan door aan het vorige systeem de breuken toe te voegen.
De breuken zijn bedacht om alle vergelijkingen a·x = b te kunnen oplossen, voor willekeurige gehele getallen a en b.
Een rationaal getal is dus een equivalentieklasse van breuken
{p } q p,q∈Z .
4. Reële getallen, aangegeven met R. Ontstaan door de z.g. irrationale getallen toe te voegen. Irrationale getallen zijn bedacht om Cauchy-rijen een limiet te kunnen geven. Een Cauchy- rij is een oneindige rij rationale getallen an waarvan alle getallen in de staart {am}m>n0 willekeurig dichtbij elkaar komen te liggen. In formule-vorm schrijven we dit als:
∀ε>0 ∃n0∈N ∀n,m∈N n,m>n0 ⇒ |am −an|<ε. Een reëel getal is dus een equivalentieklasse van Cauchy-rijtjes.
12 Als we op deze maner het limietbegrip geïntroduceerd hebben kunnen we ook a1 + a2 + a3 + · · · betekenis geven en schrijven ∑∞i=1 ai = limn→∞ sn, waarin sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an.