Page 88 - Echte wiskunde

76 P.W. Hemker
Voorbeeld 2.12.14. De gehele getallen vormen een ring, evenals de restklassen modulo m, (dwz klokrekenen met m gehele uren).
2.12.3 Lichamen
Definitie 2.12.15 (lichaam). Een ring K heet een lichaam, als (i) K een van nul verschillend element bevat;
(ii) in K de vergelijkingen ax = b en ya = b voor alle a ̸= 0 steeds oplosbaar zijn.
Definitie 2.12.16 (commutatief lichaam). Geldt voor elk tweetal elementen a en b bovendien ab = ba, dan spreekt men van een commutatief lichaam en anders van een niet-commutatief lichaam.
Opmerking 2.12.17. De definitie van lichaam is gelijkwaardig met: een ring K is een lichaam, als de verzameling van de elementen ̸= 0 in K een groep is met betrekking tot de vermenigvul- diging in K.
Gevolg 2.12.18. Daaruit volgt direct, dat in elk lichaam precies één eenheids-element e bestaat, waarvoor ae = ea = a voor alle a ∈ K. Verder bezit elk element a ̸= 0 in een lichaam precies één inverse a−1, waarvoor a−1 · a = a · a−1 = e.
De oplossingen x = a−1 · b en y = ba−1 van de vergelijkingen ax = b en ya = b, zijn voorts eenduidig bepaald. Is K een commutatief lichaam, dan is a−1b = ba−1 en dan schrijft men daarvoor b/a en spreekt men van het quotiënt van b en a. In een commutatief lichaam K is dus elke vergelijking ax = b (a ̸= 0) oplosbaar.
Stelling 2.12.19. Een lichaam bezit geen nuldelers. Bewijs: Uit a · b = 0, a ̸= 0 volgt a−1 · a · b = 0 of b = 0.
Voorbeeld 2.12.20. 1. De belangrijkste lichamen zijn: het lichaam Q van de rationale getallen, het lichaam R van de reële getallen en het lichaam C van de complexe getallen. Dit zijn de getal lenlichamen
Voorbeeld 2.12.21. 2. Bestaat een lichaam K uit 2 elementen, dan moet één element het element 0 zijn, het andere het element 1. Op grond van de optelling is K een additieve groep en dan kan alleen 1 + 1 = 0 zijn. Verder is 1 · 0 = 0 · 1 = 0 en 1 · 1 = 1.
2.12.4 Morfismen
In het algemeen is een homomorfisme of homomorfe afbeelding een afbeelding tussen twee ruimtes die ook de structuur die op die ruimtes bestaat in elkaar kan overvoeren. Als f : V → W een homomorfisme is van V met structuur S in W met structuur T geldt
∀x,y∈V f(S(x,y)) = T(f(x),f(y)) .
Een homomorfisme heet een isomorfisme als het ook een bijectie is. Een homomorfisme van een ruimte in zichzelf heet een endomorfisme; een endomorfisme dat ook een bijectie is heet automorfisme.