Page 86 - Echte wiskunde

74 P.W. Hemker
2.12 Verzamelingen met een structuur
Een perfect boek over de behandeling van groepen, ringen, lichamen en dergelijke, zoals die hieronder kort geïntroduceerd worden, is nog steeds Van de Waerden’s ‘Moderne Algebra’ uit 1930. Later is het boek ook kortweg ‘Algebra’ genoemd en het is talloze keren vertaald en heruitgegeven. De oorspronkelijke duitstalige versie is –ook vanwege het perfecte taalgebruik– een plezier om te bestuderen.
2.12.1 Groepen
Definitie 2.12.1 (groep). Een groep is een niet-lege verzameling G waarbij een binaire operatie R : G×G → G bestaat, zodat:
(i) De operatie associatief is, dwz aR(bRc) = (aRb)Rc;
(ii) De operatie omkeerbaar is, dwz ∀a,b∈G∃x∈G aRx = b en ∀a,b∈G∃y∈G yRa = b.
Definitie 2.12.2 (commutatieve groep). Een groep G heet commutatief of Abels, als: (iii) De operatie R ook commutatief is, dwz aRb = bRa voor elke a, b ∈ G.
Opmerking 2.12.3. We kunnen een element in een groep vaak goed associëren met een actie die door een tegengestelde actie ongedaan kan worden gemaakt. Voorbeelden zijn daarom (1) de permutatie van een rijtje getallen; (2) verschuivingen, bijv. in een plat vlak; (3) rotaties om een punt.
Maar ook de getalverzamelingen Z, Q, R en C zijn natuurlijk een commutatieve groep met de optelling. Een commutatieve groep voor de vermenigvuldiging zijn bijv.: {x | x ∈ Q ∧ x > 0}, {x | x ∈ R ∧ x > 0} en C \ {0}.
Dikwijls wordt de groeps-operator R als een vermenigvuldiging aangegeven (bijv. met ·) en als de operatie commutatief is gebruikt men daarvoor meestal de optelling (dus + ipv R).
Wanneer G uit eindig vele elementen bestaat, noemt men G een eindige groep en het aantal elementen noemt men de orde van G. We zullen zien, dat er eindige groepen van willekeurige eindige orde bestaan.
Op grond van de associativiteit geldt dat het product van een willekeurig eindig aantal groep- elementen eenduidig bepaald is door de factoren en door hun volgorde.
∏n i=1
door die factoren volledig bepaald (de volgorde is niet meer van belang).
Stelling 2.12.4. In elke groep G bestaat een eenduidig bepaald eenheids-element e met de
a = a1·a2··..·an =
In een Abelse groep is het product van een willekeurig eindig aantal groepselementen alleen
eigenschap14
Stelling 2.12.5. In elke groep G bestaat voor elke a ∈ G een eenduidig bepaald invers element
a−1 met de eigenschap
a−la = aa−1 = e.
Stelling 2.12.6. De oplossingen x en y van ax = b en ya = b zijn eenduidig bepaald. 14Dus: de linksinverse is ook een rechtsinverse.
ea=ae=∀a ∈G.
ai .