Page 87 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 75
Gevolg 2.12.7. Steeds geldt (a−1)−1 = a en (ab)−1 = b−1a−1; op grond van de eenduidigheid van de inverse kan nl a−1 slechts één inverse bezitten, terwijl we weten, dat a−1 · a = e. Verder is (ab)(b−1a−1) = e.
Gevolg 2.12.8. De oplossingen x ∈ G en y ∈ G van de vergelijkingen ax = b en ya = b laten zich in de volgende vorm schrijven: x = a−1b, y = ba−1, hetgeen door substitutie blijkt. Merk op dat bij een niet-commutatieve groep de notatie a/b niet gebruikt kan worden.
2.12.2 Ringen
Definitie 2.12.9 (ring). Een ring R is een verzameling van elementen, waarvoor een operatie optelling en een operatie vermenigvuldiging is gedefiniëerd, zodat voldaan is aan de volgende eigenschappen: voor elk paar elementen a, b ∈ R is de som a + b, evenals het product ab een eenduidig bepaald element van R, terwijl voldaan is aan:
Eigenschappen der optelling (commutatieve groeps-operatie). (i) associatieve eigenschap: a + (b + c) = (a + b) + c;
(ii) commutatieveeigenschap:a+b=b+a;
(iii) oplosbaarheid van de vergelijking a + x = b voor alle a en b.
Eigenschap der vermenigvuldiging.
(iv) associatieve eigenschap: a(bc) = (ab)c. Distributieve eigenschappen.
(v) a(b+c) = ab+ac; (vi) (b+c)a = ba+ca.
Definitie 2.12.10 (commutatieve ring). Geldt bovendien voor elk tweetal elementen a en b, dat
(vii) ab = ba, dan heet de ring R een commutatieve ring.
Gevolg 2.12.11. Vanwege (i), (ii) en (iii) is R een Abelse groep voor de optelling. Daaruit volgt: Eigenschap 1. In R bestaat precies één nul-element 0, zodat a + 0 = a voor alle a ∈ R. Eigenschap 2. De vergelijking a + x = 0 heeft een eenduidige oplossing; deze oplossing noemen we het tegengestelde −a van a.
Eigenschap 3. De oplossing van de vergelijking a + x = b (voor elke a en b uit R) bestaat en is eenduidig bepaald; men schrijft de oplossing:
x = (−a) + b = b − a
Opmerking 2.12.12. Omdat de optelling en de vermenigvuldiging aan de associatieve wet voldoen, kan men samengestelde sommen en producten definiëren en dan geldt dat de som van een willekeurig eindig aantal elementen bepaald is door de opgave van de termen:
∑n i=1
∏n i=1
a = al + a2 + · · · + an =
Het product van een willekeurig eindig aantal elementen is bepaald door de factoren en door hun
volgorde:
Definitie 2.12.13 (ring met eenheids-element). Een ring R heeft een eenheids-element e, als er een element e ∈ R is, zodat ae = ea = a voor alle a ∈ R. Het element e is eenduidig; bestonden er twee eenheids-elementen e en e′, dan was e = ee′ = e′. Meestal duiden we het eenheids-element van een ring aan met het symbool 1.
a = a1·a2·····an =
ai .
ai .