Page 23 - Kalkulus Lanjut

 F  F  F
 F = i + j + k
x  y  z 
 (xy + yz + zx )  (xy + yz + zx )  (xy + yz + zx )
= i + j + k
x  y  z 
= (y + z )i + (x + z ) j + (y + x )k

= (y + z ), (x + z ), (y + ) x

4. Jika f ( x, y, z) = ( x + y) z . Untuk x = sin t, y = cos t, z = sin t . Tentukan f  (t ) dengan

menggunakan vektor gradien?
Penyelesaian:

Misalkan ada suatu vektor
r t) ( = ( x( t), y( t), t z ) (

= x( i t) + y( t) j + t z( k )
= (sin i t) + (cos t) + t) k
j (sin
Maka turunan dari vektor ini adalah

d(sin t) d(cos t) d(sin t)
r  t) ( = i + j + k
dt dt dt
= (cos i t , ) (− sin t) j (cos t) k
,
= cos t sin t cos t
−
,
,
Vektor gradien dari f
f  f  f 
 f (x , , y ) z = i + j + k
x  y  z 
 (x + y )z  (x + y )z  (x + y )z
= i + j + k
x  y  z 
= zi + zj + (x + y )k
= z , z ( , x + ) y

untuk  f (r (t )) = sin , t sin , t (sin t + cos ) t , dengan menggunakan aturan rantai

sehingga:

19