Page 25 - Livret d’activités et de scénarios pédagogiques pour le collège

Cosinus, Sinus et Tangente
A partir de 3e
J.-B. CIVET
Comment calculer des longueurs à l’aide de la trigonométrie ?

Soit le triangle 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 rectangle en 𝐴𝐴𝐴𝐴 et tel que 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 29° et
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3 cm. Calculer la longueur 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 arrondie au dixième.
Au collège, les angles sont exprimés en degré. Sur la calculatrice, ce mode est repéré par la mention DEG en haut à droite de l’écran. Il est possible de changer en allant dans le menu m.

Dans le triangle 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 rectangle en 𝐴𝐴𝐴𝐴, on a : tan𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶.
Numériquement : tan(29°) = 3 et donc 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 = 3 . 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
a. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur de sin(30°) ; tan(45°) et cos(60°).
b. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de cos(30°) ; sin(45°) et tan(60°).
dixième.
a.
b.
e. On considère le triangle 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 rectangle en 𝐿𝐿𝐿𝐿 e t t e l q u e 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 4 0 ° e t 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 5 c m .
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 tan(29°)
• Saisir : f3Gt29)e. • Soit 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ≈ 5,4 cm.
A vous de jouer !
c. On considère le triangle 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 rectangle en f. On considère le triangle 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅𝑅𝑅 tel que
𝐸𝐸𝐸𝐸ettelque𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸=35°et𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸=5cm. 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆= 55°,𝑅𝑅𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅𝑅𝑅=35°et𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅=2,5cm. Calculer la longueur 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 arrondie au Calculer la longueur 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑆𝑆𝑆𝑆 arrondie au
dixième. centième.
d. On considère le triangle 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾 rectangle en g. On considère le triangle 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 rectangle en

𝐼𝐼𝐼𝐼 et tel que 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾 = 56° et 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 4,5 cm.
Calculer la longueur 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾 arrondie au Calculer la longueur 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 au millimètre près.
Calculer la longueur 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿 arrondie au dixième.
Calculer de deux manières différentes la longueur 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿 arrondie au dixième.
𝐸𝐸𝐸𝐸 et tel que 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 49° et 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 5 cm. Solutions
b. (suite) cos(30°) ≈ 0,87 ; sin(45°) ≈ 0,71 et tan(60°) ≈ 1,73
c. 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸= 5 ≈8,7cm
4,5
d. 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾= sin(35°)≈8cm
5
e. 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿=cos(56°) ≈6,5cm, 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿=5×tan(40°)≈4,2cm ou en
cos(40°)
utilisant le théorème de Pythagore 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿2 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿2 − 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿2 ;
soit 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿2 = 6,52 − 52 = 17,25 et 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐿𝐿𝐿𝐿 ≈ 17,25 ≈ 4,2 cm. f. 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 est rectangle en 𝑅𝑅𝑅𝑅 (55° + 35° = 90°).
Ainsi, 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅𝑅𝑅 = 2,5 × tan(55°) ≈ 3,57 cm. g. 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸=5×cos(49°)≈3,3cm
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