Page 47 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

< ( + 1)! .2 karena 2 < (( + 1)!

< ( + 1)!. ( + 2) karena 2 < ( + 2), ≥ 1
= ( + 2)!
= (( + 1) + 1)!

Telah ditunjukkan bahwa ( + 1) benar jika ( ) benar. Langkah induktif selesai.elesai.
Te la h dit unj ukkan bahwa ben ar. Lan gk ah i ndukt if s
a
s
a
k
d
a
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip
r

a
m

m
e
d
u
d
k
i
s
a
i
n
k

a
e
t
m
t
a
g
i induksi matematika ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 2. Dengan
a
n
n
d e m i k i a n t e r b u k t i b a h w a a s l i
demikian terbukti bahwa 2 < ( + 1)! untuk sebarang bilangan asli ≥ 2.

1 1
1
10. + + 1 + ⋯ + > √ untuk sebarang bilangan asli ≥ 2≥ 2.
⋯ +

√1 √2 √3 √
Alternatif Penyelesaian
Altern atif Pen yel es a ia n
Langkah dasar
Untuk m em bukt ikan b ah wa k etaksa ma an b enar u ntuk me n syaratkan
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk ≥ 2 mensyaratkan bahwa bahwa
langkah dasar adalah (2).
h
ar adala
kah das
lang
1
Perhatikan bahwa (2) benar karena +
Perhatik an b ahwa 1 = 1,707 > √2 = 1,41414. Langkah
2 = 1,4
√1 √2
dasar selesai.
Lan gka h i nduk ti f
Langkah induktif
Asumsikan ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 2, yaitu
)
as u m si kan bahw a
asumsikan bahwa
1 1 1 1
+ + + ⋯ + > √
√1 √2 √3 √
untuk sebar ang b ila ng an asli
untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 2.

a akan
ilai b
eng
enar d
+ 1)
utny
jug
a bern
anj
bahwa
dit
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan an
unj
Sel
ukkan
me ng gun akan hi p ote sis i nduktif d i atas.
menggunakan hipotesis induktif di atas. P(k + 1) menyatakan:
1 1 1 1 1
+ + + ⋯ + + > √ + 11
√1 √2 √3 √ √ + 1
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh
k
1 1 

1  1  1  ...    1  1  1  ...  1  1
  
1 2 3 k k  1  1 2 3 k  k  1
1
 k 
k 1

k . k  1  1

k  1
k  k  1
2

k  1
k  1
2

k  1
k 1

k 1
 k  1
Te la h dit unj ukkan bahwa ben ar. Lan gk ah i ndukt if s
Telah ditunjukkan bahwa ( + 1) benar jika ( ) benar. Langkah induktif selesai.elesai.
46