Page 13 - Aritmetica 1° Sec GM

CAPÍTULO 01
Conjuntos I
conjunto Potencia

Observe con atención el siguiente cuadro:
Ten presente
Conjunto Card Subconjuntos Nº Subc.
Subconjunto propio
0
∅ 0 ∅ 1 = 2
{3} 1 ∅, {3} 2 = 2 1 Son subconjuntos propios to-
dos los subconjuntos excepto
{1; 3} 2 ∅, {1}, {3}, {1; 3} 4 = 2 2 el mismo conjunto.
{1; 3; 5} 3 ∅, {1}, {3}, {5}, {1; 3}, {1; 5}, {3; 5},{1; 3; 5} 8 = 2 3 Dado: A = {3; 6; 8}
∅,{3},{6},{8},{3;6},{3;8},{6;8}
En el cuadro hay que diferenciar cuatro conceptos: Subconjuntos propios de A
conjunto, cardinal, subconjuntos y número de
Número de subconjuntos
subconjuntos. propios = 2 n(A) – 1

Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A,
denotado por P(A), está formado por todos los
subconjuntos de A.

número de elementos del conjunto Potencia Ten presente

# Subconjuntos Número de subconjuntos
n
n[P(A)] = 2 , donde n es el número de elementos de A Como el conjunto potencia
está formado por todos los
subconjuntos de un conjun- Resuelve problemas de cantidad (Aritmética)
to, el número de sus elemen-
Problema 1
tos coincide con el de los
El conjunto potencia de B tiene 8 elementos. Si dos de sus elementos son: subconjuntos.
{3; 7} y {5}, determine P(B).
Por consiguiente, si un con-
Resolución: junto A tiene n elementos,
n
Cardinal de B entonces tiene 2 subconjun-
Como B tiene 3 elementos ⇒ B = {3; 5; 7} tos y su conjunto potencia,
n
también tiene 2 elementos.
8 = 2 3 Entonces P(B) es: Si n(A) = n, entonces:
 Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
P(B) = {∅, {3}, {5}, {7}, {3; 5}, {3; 7}, {5; 7}, {3; 5; 7}} n
Cardinal de P(B) • N° de subconjuntos = 2
• N[P(A)] = 2 n

Problema 2
Subconjuntos propios
Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y M  A. Se sabe que las proposiciones 2∈A ∧ 1∈M
y 5∉A ∨ 6∈M son falsas. Calcule cuántos elementos a lo más tiene P(M). Son subconjuntos propios to-
dos los subconjuntos excepto
Resolución: el mismo conjunto. Prohibida su reproducción total o parcial
• 2 ∈ A ∧ 1 ∈ M ≡ F Para que sea falsa: 1 ∈ M ≡ F ⇒ 1 ∉ M Por ejemplo, los subconjun-

V tos de A = {2; 5; 7}, son φ; {2}:
{5}; {7}, {5; 7} y {5; 7}.
• 5 ∉ A ∨ 6 ∈ M ≡ F Para que sea falsa: 6 ∈ M ≡ F ⇒ 6 ∉ M

F Si n(A) = n, entonces el
número de subconjuntos
• Dado que 1 ni 6 son elementos de M, entonces a lo más M = {2; 3; 4; 5} propios es 2 – 1.
n
4
n(M) = 4, entonces n[P(M)] = 2 = 16
Rpta.: 16

Matemática 1 - Secundaria 13