Page 36 - Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.1

Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk ≥ 3 mensyaratkan bahwa
langkah dasar adalah (3).
2
Perhatikan bahwa (3) benar karena (3 + 1) = 4 = 16 < 2(3 ) = 2(9) = 18.
2
2
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 3, yaitu
2
2
asumsikan bahwa ( + 1) < 2 untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 3.
Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa ( + 1) juga benar. Dalam hal
2
2
ini harus ditunjukkan jika ( + 1) < 2 benar untuk sebarang bilangan asli
2
2
dengan k  3, maka (( + 1) + 1) < 2( + 1) juga benar.
Diperoleh
+
((k + 1) 1) = (k + 1) + 2(k + 1) 1
2
2
+
2
 2k + 2k +
3
 2k + 2k + + 1)
2
3 (2k −
2
= 2k + 4k +
2
= 2(k + 2k + 1)
2
= 2(k + 1)
2
Telah ditunjukkan bahwa ( + 1) benar jika ( ) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut
prinsip induksi matematika ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥
2
2
3. Dengan demikian terbukti bahwa ( + 1) < 2 benar untuk sebarang bilangan
asli dengan n  3.

9. ! > 2 untuk sebarang bilangan asli ≥ 4.

Alternatif Penyelesaian

Misalkan ( ) adalah pernyataan bahwa ! > 2 . Perhatikan bahwa ketaksamaan
salah untuk = 1, 2, dan 3
Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk ≥ 4 mensyaratkan bahwa
langkah dasar adalah (4).
4
Perhatikan bahwa (4) benar karena 4! = 4.3.2.1 = 24 > 2 = 16. Langkah dasar
selesai.
Langkah induktif

Asumsikan ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 4, yaitu

asumsikan bahwa ! > 2 untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 4. Pada
hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa ( + 1) juga benar. Dalam hal ini
harus ditunjukkan jika ! > 2 benar untuk sebarang bilangan asli dengan k  4,

maka ( + 1)! > 2 ( +1) juga benar.
Diperoleh
=
(k + 1)! (k + 1) k

!
 2  (k + 1)
k
 2  k 2 untuk k  4
= 2 k+ 1
Telah ditunjukkan bahwa ( + 1) benar jika ( ) benar. Langkah induktif selesai.

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 36