Page 117 - E-MODUL FUNGSI DAN LIMIT

Teorema 13

Fungsi nilai mutlak merupakan fungsi yang kontinu di setiap bilangan real c. Jika n
itu ganjil, maka fungsi akar ke n kontinu disetiap bilangan real c; kemudian jika n

genap, maka fungsi ini kontinu disetiap bilangan real positif c.

Teorema 14
Jika fungsi f dan g kontinu di c, maka demikian juga pada , + , − , ∙ , /

(asalkan g(c) ≠ 0), dan √ (asalkan f(c) > 0 jika n genap).

Bukti f + g kontinu di titik c.
Dipunyai f dan g kontinu di titik c.

Ambil sembarang ε > 0.

Pilih > 0 dan > 0 sehingga
2
1

| ( ) − ( )| < apabila | − | < dan | ( ) − ( )| < apabila | − | <
2 1 3 2
Pilih ε = min { ε , ε }.
2
1
Dipunyai | − | < .
|( + )( ) − ( + )( ))|

= | ( ) + ( ) − ( ) − ( )|
= |[ ( ) − ( )] + [ ( ) − ( )]|

≤ |[ ( ) − ( )] + [ ( ) − ( )]|

< +
2 3
5
=
3
< ε

Jadi untuk setiap ε > 0 terdapat ε > 0 sehingga |( + )( ) − ( + )( ))| < ε apabila

| − | < .
Kesimpulannya terbukti bahwa fungsi f +g kontinu di titik c.

Contoh
3
2
Fungsi ( ) = (3| | − )/(√ + √ ) kontinu pada setiap bilangan-bilangan berapa
saja?

Penyelesaian:
Pemecahan Masalah John Dewey

109