Page 35 - Microsoft Word - แคลคูลัส.docx

ในที่นี้เราตองการหาสมการของทรงกระบอก กําหนดใหทรงกระบอกมีเสนบังคับ C เปนเส นโคง ท่ีมีสมการเปน F(x, y, z) = 0 และตัวกอกําเนิดขนานกับเวกเตอร uí⃗ = 〈a, b, c〉
ให P(x, y, z) = 0 เปนจุดใด ๆ บนทรงกระบอก
จากบทนิยาม จะตองมีตัวกอกําเนิดเสนหนึ่งที่ผานจุด P(x, y, z) = 0 ขนานกับ uí⃗ และตัดกับ เสนบังคับCที่จุดP (x ,y ,z ) = 0
::::
íííííí⃗ íííííí⃗
จะได P P ขนานกับ íu⃗ เพราะฉะนั้น P P = 𝑡íu⃗ สําหรับสเกลาร t บางคา
::
íííííí⃗
เพราะวาPP=〈𝑥−𝑥 ,𝑦−𝑦 ,𝑧−𝑧 〉จะไดสมการ
ZòZè = ]ò]è = öòöè = t ____________________________(1) \^õ
เน่ืองจาก จุด P (x , y , z ) เปนจุดอยูบนเสนโคง C เพราะฉะนั้น ::::
F(x:, y:, z:) = 0 _________________________________(2) จากสมการ (1) และ (2) เราสามารถกําจัดคาคงที่ x:, y: และ z: ได และสมการที่เหลือเป
::::
35
นสมการของตัวแปร x, y และ z ซึ่งเปนสมการของทรงกระบอกตามตองการ
ตัวอยTางท่ี 1 จงหาสมการของทรงกระบอกที่มีเสนบังคับเปนเสนโคง ][ + ö[ =
j :i
1, x = 0 และ ตัวกอกําเนิดขนานกับเวกเตอร uí⃗ = 〈4,1,0〉 พรอมทั้งวาด
กราฟของทรงกระบอก
วิธีทํา ให P(x, y, z) เปนจุดใด ๆ บนทรงกระบอก จะมีตัวกอกําเนิดซึ่งผานจุด
P(x, y, z) = 0 ตัดกับ ไดวา
เสนบังคับท่ีจุด P (x , y , z ) และขนานกับเวกเตอร íu⃗ = 〈4,1,0〉 จะ ::::
〈x − x:, y − y:, z − z:〉 = t〈4,1,0〉 x−x: =4t
y−y: =t หรือ z − z: = 0
x: =x−4t y: =y−t
z: = z
เพราะวาจุดP (x ,y ,z )อยู บนเสนโคง][ + ö[ = 1,x = 0 : : : : j :i
จะไดวา ][ +ö[ =1,x=0 [ j[ :i
เพราะฉะนั้น (]òÇ) + ö = 1 _________________________________(1) j:i Z
จากx: =x−4tและจากx: =0จะไดวา0=x−4tหรือt=j แทนคา t = Z ในสมการ (1) จะได
j
~]òÅ" æ[
Æ+=1 j :i