Page 298 - chapter 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης 298

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ)

Δ ο σ μ έ ν α

● Ο τύπος της συνάρτησης f

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
● Στη περίπτωση "... τουλάχιστον κοινό σημείο των C f, C g"
● Θέτουμε h(x) = f(x) - g(x)
● Αποδεικνύουμε:
● η συνάρτηση h είναι συνεχής σε διάστημα [α, β]
● h(α) h(β) < 0
● Από θ ε ώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ...
Π α ρ α τ ή ρ η σ η
Η περίπτωση αυτή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σε προ-
β λ ήματα χρονικής μεταβλητής, για κάποια κοινή χρονική

στιγμή, δημιουργώντας τις κατάλληλες συναρτήσεις.
● Στη περιπτωση " υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) ... "
Εναλλακτικά η προηγούμενη περίπτωση ...
● Φέρνουμε τους όρους της προς απόδειξη ισότητας στο
π ρ ώτο μέλος
● Θέτουμε h(x) = " π ρ ώτο μέλος" αντικαθιστώντας το ξ
με το x
● Αποδεικνύουμε ... θ ε ώρημα Bolzano ...
● Στη περίπτωση " ... η εξίσωση ... μια του λ άχιστον λύση ... "
● Μεταφέρουμε όλους τους όρους της δοσμένης εξίσ ω -
σης στο πρώτο μέλος της (ώστε το δεύτερο μέλος να
είναι ίσο με 0)
● Θέτουμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης που προκύπτει
ίσο με h(x)
● Αποδεικνύουμε ... συνάρτηση h ... θ ε ώρημα Bolzano ...

● Αν το (α, β] ή [α, β) τότε προσδιορίζουμε πρώτα το f(α)
ή f(β) από τη συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο αυ-
τό.
● Στη περίπτωση " ... η εξίσωση ... έχει μοναδική λύση ... "
● Κάνουμε ο,τι και στα προηγούμενα
● Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότ ο -
νη.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017