Page 299 - chapter 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης 299

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ C f, C g)
Αν η f και η g είναι συνεχείς στο [α, β] με
f(α)=α, f(β)=β και α g(χ) β για κάθε χ (α, β),
να αποδείξετε οτι οι C f, C g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό
σημείο .

Η δοσμένη σχέση γράφεται

● α- g(α)<0
● β- g(β)<0

Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=f(x)-g(x)

Έτσι
● η f είναι συνεχής στο
[α, β]
(άθροισμα συνεχών συ-
ναρτήσεων)

● Επίσης
● h(α)=f(α)-g(α)=α-g(α)<0
● h(β)=f(β)-g(β)=β-g(β)>0
δηλαδή

h(α) h(β)<0

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα
χ 0 (α, β) τέτοιο, ώστε
h(χ 0)=0` f(χ 0)-g(χ 0)=0 ` f(χ 0)=g(χ 0)
που σημαίνει ότι οι C f, C g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο
με τετμημένη χ 0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017