Page 129 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 117
Het probleem ligt hem niet in de vorm ... maar het ligt veel dieper. Hilbert heeft het voldoende geacht zijn gedachten te presenteren door formele regels te volgen. Hij denkt dat het voldoende is dat niemand zijn bewijs kan weerleggen .. hij is er tevreden mee te denken dat het belang en de correctheid van zijn stellingen voldoende zijn. ... voor een uitgebreid werkstuk voor de Annalen is dit onvoldoende.
Maar Hilbert had via zijn vriend Hurwitz over Gordan’s brief aan Klein gehoord en hij schreef zelf aan Klein in krachtige bewoordingen: ... Ik ben niet bereid ook maar iets te veranderen of te verwijderen, en met betrekking tot dit artikel zeg ik in alle bescheidenheid dat dit mijn laatste woord is zo lang geen duidelijke en onweerlegbare bedenkingen tegen mijn redenering worden aangedragen.
Toen Klein deze twee brieven van Hilbert en Gordan ontving was Hilbert een assistent docent en Gorden een over de hele wereld erkend expert op het gebied van de invarianten-theorie, en ook een goede vriend van Klein. Klein, echter, herkende het belang van Hilbert’s werk en verzekerde hem dat het zonder enige wijziging in de Annalen zou verschijnen. En zo gebeurde het.
Figuur 3.2: Hilbert 1900
In een later artikel breidde Hilbert zijn methode uit en zond het weer in naar de Mathematische Annalen en, nadat hij het manuscript gelezen had, schreef Klein aan Hilbert: Ik twijfel er niet aan dat dit het belangrijkste werk op het gebied van de algemene algebra is dat de Annalen ooit heeft gepubliceerd.
In 1893, toen hij nog in Königsberg was, begon Hil- bert een werk Zahlbericht over algebraïsche getaltheorie. De Duitse Wiskundige Vereniging had om zo’n belangrijke rap- port verzocht, drie jaar nadat de Vereniging was opgericht in 1890. Het Zahlbericht (1897) is een brilliante synthese van het werk van Kummer, Kronecker and Dedekind maar bevat bo- vendien een schat aan ideeën van Hilbert zelf. De ideeën van het hedendaagse onderwerp ‘Klassieke veldentheorie’ kun je allen in dit werk vinden. In [18] beschrijft Rowe dit werk als
... niet echt een Bericht in de klassieke zin van het woord, maar eerder een stuk oorspronkelijk onderzoek dat onthult dat Hilbert niet alleen een specialist was, hoe begaafd ook. ... hij geeft niet alleen een samenvatting van resultaten van eerder onderzoek ... maar bracht ook nieuwe concepten in omloop die nog vele jaren later de loop van het onderzoek in de algebraïsche getaltheorie vorm zouden geven.
Ná Euclides had Hilbert’s werk op het gebied van de meetkunde de grootste invloed. Een systematische studie van de axioma’s uit de Euclidische meetkunde deed Hilbert 21 van die axioma’s voorstellen en hij analyseerde het belang ervan. Hij publiceerde in 1899 de Grundlagen der Geometrie, waarbij hij de meetkunde op een formele axiomatische grondslag baseerde. Nieuwe uitgaven van het boek bleven verschijnen en het boek had grote invloed in het bevorderen van de axiomatische methode in de wiskunde, wat een van de belangrijkste kenmerken is geweest in de vroege 20ste eeuw.