Page 127 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 115
Voorbeeld 3.7.34. De afbeelding y → y + G, waarbij G een gesloten lineaire deelruimte van een gegeven Hilbertruimte H is en y ∈ G⊥, is een isometrie van G⊥ op H/G. Zie het einde van Sectie 3.7.2.
Alvorens verdere voorbeelden van isometrieën te geven brengen we de volgende definitie in herinnering.
Definitie 3.7.35. Een metrische ruimte heet separabel als R een aftelbare verzameling punten bevat die overal dicht ligt in R.
Stelling 3.7.36. Een lineaire deelruimte van een separabele Hilbert- of Banachruimte is weer separabel.
Bewijs: Bekend is dat een metrische ruimte separabel is desda er een aftelbare basis bestaat voor de open verzamelingen in R. Als verder een aftelbare basis bestaat voor R, dan ook voor elke deelruimte van R. Uit deze twee feiten volgt de stelling.
Voorbeeld 3.7.37. De ruimte Ck, met inproduct ⟨x,y⟩ = ∑ki=1 xiyi, is separabel.
Voorbeeld 3.7.38. De Hilbertruimte l2 is ook separabel. Om dit in te zien beschouwen we de verzameling A bestaande uit rijen x = (x1, x2, . . .) ∈ l2, waarvan alle coördinaten rationaal zijn en ten hoogste eindig veel ̸= 0 zijn. De rijen (x1,x2,...) in A, waarbij xk = 0 voor k ≥ 2 vormen kennelijk een aftelbare verzameling. Evenzo die waarbij xk = 0 voor k ≥ 3, enz.. Dan is dus ook A aftelbaar.
Verder ligt de verzameling van “afbrekende” rijen dicht in l2 (zie Stelling 3.5.6) en Opmerking 3.7.13. Elke afbrekende rij kan benaderd worden door elementen van A. Dus ligt A dicht in l2.
Van abstract standpunt zijn dit de enige voorbeelden van separabele Hilbertruimten. Er geldt namelijk:
Stelling 3.7.39. Zij H een separabele Hilbertruimte. Dan is H isometrisch met een der ruimten Ck, met het hierboven gegeven inproduct, of met l2,
Bewijs: Zij M een aftelbare verzameling die dicht ligt in H. Door orthonormaliseren krijgen we een afbrekende of oneindige rij (e1 , e2 , . . .) waarvan het lineair omhulsel dicht ligt in H . Breekt de rij af bij ek, dan is H isometrisch met Ck. (Beeld eiaf op de i-de eenheidsvector in Ck, voor i = 1,...,k.)
Is de rij oneindig, dan bestaat H wegens vroegere stellingen precies uit de elementen van de vorm ∑∞k=1 αkek met ∑∞k=1 |αk|2 < ∞. Tevens is
⟨∑∞ ∑∞ ⟩∑∞
αkek,
(zie Stelling 3.7.30). Hieruit volgt dat H isometrisch is met l2.
Voorbeeld 3.7.40. We laten zien dat de ruimte l∞ een voorbeeld is van een niet-separabele Banachruimte. Zij A een willekeurige, eindige of oneindige verzameling van natuurlijke getallen en laat bij A een element x(A) in l∞ gedefinieerd zijn als volgt:
{
x(A)= 1 als k∈A k 0 als k̸∈A
Het aantal van deze verzamelingen A is 2א0 , dus overaftelbaar.18 Voor twee verschillende verza- melingen A en A′ is verder ∥x(A) − x(A′)∥ = 1. Er volgt dat l∞ niet separabel is.
18א0 is de machtigheid van de aftelbaar oneindige verzameling.
k=1
k=1
βkek = αkβk k=1