Page 126 - Echte wiskunde

114 P.W. Hemker
3.7.4 Isometie, Separabiliteit
We beschouwen afbeeldingen van een Hilbertruimte H1 in Hilbertruimte H2. Norm en product van deze ruimten geven we aan met ∥ · ∥1 en ⟨·, ·⟩1, respectievelijk ∥ · ∥2 en ⟨·, ·⟩2. Aan een afbeelding, zeg T van H1 in H2 kunnen we verschillende eisen opleggen. Bijv.
(a) T is een homomorfisme17 van H1 als Abelse groep in H2 als Abelse groep;
(b) T is homogeen, dwz ∀α∈C,x∈H1 T (αx) = α T (x).
De eisen (a) en (b) houden samen in dat T een lineaire afbeelding is, dwz:
∀α1,α2∈C;x1,x2∈H1 T(α1x1 + α2x2) = α1T(x1) + α2T(x2) . (c) T laat de norm invariant: ∥Tx∥2 = ∥x∥1.
We geven nu devolgende
Definitie 3.7.31 (isometrie). Een isometrie tussen twee Hilbertruimten H1 en H2 is een
lineaire afbeelding U van H1 op H2 met de eigenschap dat ∥Ux∥2 = ∥x∥1 ∀x∈H1 .
Is Ux = 0, dan is ook x = 0. Dus U heeft kern {0} en is dus een éénéénduidige afbeelding.
Op soortgelijke wijze definieert men een isometrie tussen twee Banachruimten, of algemener
tussen twee genormeerde lineaire ruimten.
Stelling 3.7.32. Een isometrie tussen H1 en H2 laat ook het inproduct invariant, ofwel ⟨Ux,Uy⟩2 =⟨x,y⟩1.
Bewijs: Neem twee willekeurige elementen x, y ∈ H1 en zij λ ∈ C, dan geldt
en ook
∥U(x + λy)∥2 = ⟨U(x + λy), U(x + λy)⟩2
= ∥Ux∥2 + |λ|2 · ∥Uy∥2 + λ⟨Ux, Uy⟩2 + λ⟨Uy, Ux⟩2
= ∥x∥21 + |λ|2 · ∥y∥21 + λ⟨Ux, Uy⟩2 + λ⟨Uy, Ux⟩2
∥x + λy∥21 = ∥x∥21 + |λ|2 · ∥y∥21 + λ⟨x,y⟩1 + λ⟨y,x⟩1 . Omdat ∥U (x + λy)∥2 = ∥x + λy∥1 hebben we dus
λ⟨Ux, Uy⟩2 + λ⟨Uy, Ux⟩2 = λ⟨x, y⟩1 + λ⟨y, x⟩1 .
Passen we dit toe met λ = 1 en met λ = i, dan vinden we door lineaire combinatie dat
⟨Ux,Uy⟩2 =⟨x,y⟩1.
Voorbeelden van isometrieën zijn we in het verleden al tegengekomen.
Voorbeeld 3.7.33. De afbeelding x + c0 → ξ, waarbij x = (x1, x2, . . . , ) een convergente ge- tallenrij is en ξ = limk→∞ xk is een isometrie van de quotiëntruimte c/c0 op C. Zie voorbeeld 3.5.10.
17In het algemeen verstaat men onder een homomorfisme of homomorfe afbeelding een afbeelding van een verzameling met structuur in een andere verzameling met structuur die compatibel is met de structuren, dus de structuur van het domein overvoert in de structuur van het codomein. Als f een homomorfisme is van V met structuur S in W met structuur T geldt ∀x,y∈V f (S(x, y)) = T (f (x), f (y)).