Page 125 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 113
Is verder het stelsel (eλ) uit te breiden met een vector e′ tot een groter orthonormaal stelsel, dan geldt de betrekking van Parseval niet voor z = e′ en dus is L(M) ̸= H. Is omgekeerd L(M) ̸= H, en z een element met z ̸∈ L(M), dan is het stelsel (eλ) uit te breiden met e′ = (z−x0)/∥z−x0∥, waarin x0 bepaald is als in het bewijs van Stelling 3.7.26. Dus zijn de beweringen (2), (3) en (4) ook equivalent met bewering (1).
Gevolg 3.7.29. De stelling van Pythagoras in een oneindig-dimensionale ruimte.
Zij (eλ ) een volledig orthonormaal stelsel in H . Dan convergeren de reeksen ∑ αλ eλ , waarbij ∑2λ
αλ ̸= 0 hoogstens aftelbaar oneindig vaak, en λ |αλ| < ∞, in H en leveren deze reeksen precies alle elementen van H. Daarbij is ∥∑ αλeλ∥2 = ∥ ∑ |αλ|2.
λλ
Bewijs: Een reeks van de genoemde vorm convergeert in H, wegens Stelling 3.7.25. Omgekeerd
kan elk element van H als zo’n reeks geschreven worden, wegens Stelling 3.7.26 nrs (1) en (2), en
Stelling 3.7.28 bewering (4). De laatste relatie is de betrekking van Parseval, met z = ∑ αλeλ
en ⟨z, eλ⟩ = αλ (vgl. (4))
λ
We merken op dat het begrip volledig orthonormaal stelsel in een Hilbertruimte niet gezien kan worden als een ver-bijzondering van het algebraïsche begrip basis in een lineaire ruimte. We releveren de volgende feiten. 15 16
(A) Is (xλ) een basis in een lineaire ruimte R, dan geldt:
(1) de elementen xλ zijn lineair onafhankelijk in de zin dat een eindige lineaire combinatie α1xλ1 +···+αkxλk = 0 alleen waar is als α1 = ... = αk = 0.
(2) elk element van R kan geschreven worden als een eindige lineaire combinatie α1xλ1 + · · · + αkxλk . De coëfficienten αi zijn eenduidig bepaald vanwege (1).
(B) Is (eλ) een volledig orthonormaal stelsel in een Hilbertruimte, dan geldt: ∑
(1′ ) de elementen (eλ ) zijn lineair onafhankelijk in de zin dat een reeks
convergent– som 0 heeft, alleen als alle αλ = 0 zijn.
(2′) elk element van H kan geschreven worden als een convergente reeks
in deze reeks zijn eenduidig bepaald wegens (1′). Ingeval van oneindig-dimensionale H, is H méér dan het lineair omhulsel de eλ.
Als generalisatie van de betrekking van Parseval hebben we nog
Stelling 3.7.30. Zij M = (eλ) een volledig orthonormaal stelsel in H. Dan is voor elk tweetal
∑
aftelbaar oneindig veel. Voor elk eindig deelstelsel λ-s geldt:
⟨∑n ∑n ⟩∑n αieλi, βieλi = αiβi ,
i=1 i=1 i=1
nemen we speciaal αi = ⟨z, eλi ⟩ en βi = ⟨y, eλi ⟩, dan krijgen we na een limietovergang de
betrekking (3.22).122
15Het lineair omhulsel kent alleen eindige sommen.
16Als H ∞-dimensionaal, dan is (eλ) geen basis in algemene zin.
⟨z,y⟩ =
Bewijs: We beschouwen de indices λ waarvoor ⟨z, eλ⟩ ̸= 0 of ⟨y, eλ⟩ ̸= 0. Dat zijn er hoogstens
λ
∑
αλ eλ –indien αλeλ (de coëfficienten
elementen z,y ∈ H,
⟨z,eλ⟩ · ⟨y,eλ⟩ . (3.22)