Page 123 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 111
Bewijs: Stel ∀k∈N xk = ∑ki=1 αiei. Voor k > j is
⟨∑k ∑k ⟩∑k
∥xk −xj∥2 = αiei, i=j +1
i=j +1
αiei = |αi|2 . i=j +1
Dus (xn) is een fundamentaalrij dan en slechts dan als de reeks ∑∞ |αk|2 convergeert. Daar H k=1
Voor de partiële sommen geldt verder
∀k∈N ∥xk∥2 =
k ≥ j ⇒ ⟨xk,ej⟩ = αj .
Laat men hierin k naar ∞ gaan, dan volgen de laatste beweringen van de stelling. We beschouwen nu willekeurige orthonormale stelsels, We bewijzen
Stelling 3.7.26. Zij M = (eλ) een orthonormaal stelsel in een Hilbertruimte H. Zij G = L(M) en zij z een willekeurig punt van H. Dan geldt:
volledig is, geldt dus dat de rij (xk) convergeert, dwz dat de reeks ∞ αkek convergeert desda de reeks ∑∞k=1 |αk|2. Dat is de eerste bewering van de stelling. k=1
λ2 ∑ 2 2
(3) ∥z∥ − |⟨z,eλ⟩| = d , waarbij d de afstand is tussen z en G.
λ∑
(4) d=∥z−x0∥,alsx0 = λ⟨z,eλ⟩eλ.
Opmerking 3.7.27. De reeks in (2) is een gewone aftelbare reeks wegens (1). Hetzelfde geldt voor de reeks in (4). Deze reeks is convergent wegens (2) en de vorige stelling.
Bewijs: (van Stelling 3.7.26) We beschouwen eerst een willekeurig eindig stelsel indices λ1,...,λk. De lineaire ruimte L(eλ1,...,eλk) is eindig-dimensionaal, dus gesloten. De afstand van z tot een willekeurig punt x = α1 eλ1 + · · · + αk eλk van deze deelruimte is minimaal als
z − x ⊥ L(eλ1 , . . . , eλk ) , (3.16)
wegens de Lemmata 3.7.17 en 3.7.19. Aan de relatie (3.16) is voldaan als ⟨z, eλi ⟩ = ⟨x, eλi ⟩ voor i = 1,...,k. We concluderen dat de afstand van z tot x ∈ L(eλ1,...,eλk) minimaal is als geldt
αi = ⟨z,eλi⟩ (i = 1,...,k) , Bij gegeven stelsel (eλ1 , . . . , eλk ) voeren we in
i=1
∥z∥2 =∥(z−x)+x∥2 =∥z−x∥2 +∥x∥2.
14Dat is de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek met hoekpunten 0, x en z.
(3.17)
(3.18)
(3.19)
x =
We kunnen kunnen dus zeggen x ⊥ z − x en14
∑k
⟨z, eλi ⟩ eλi .
∑k i=1
|αi|2
∑
(1) er zijn ten hoogste aftelbaar oneindig veel indices λ met ⟨z, eλ⟩ ̸= 0.
(2) ∑ |⟨z, eλ⟩|2 ≤ ∥z∥2. Dit is de ongelijkheid van Bessel.