Page 121 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 109 Opmerking 3.7.21. In het geval van een Banachruimte hanteert men ook het begrip directe
som, met dezelfde notatie; men laat dan echter de tweede eis vallen. Uit de twee Lemmas 3.7.17 en 3.7.19 leiden we nu af:
Stelling 3.7.22. Zij H een Hilbertruimte en G een gesloten lineaire deelruimte, dan is H = G ⊕ G⊥ en G⊥⊥ = G.
Bewijs:
(1.) Neem een willekeurig element z ∈ H. Laat x0 bepaald zijn als in Lemma 3.7.17 en zij z − x0 = y0. Dan geldt: z = x0 + y0, x0 ∈ G, y0 ∈ G⊥.
(2.)Zijz=x1+y1 eentweedevoorstellingvanzzodatx1 ∈G,y1 ∈G⊥,danisx0−x1 =y1−y0 endusx0−x1 ∈Genx0−x1 ∈G⊥.Dus⟨x0−x1,x0−x1⟩=0waaruitvolgtx0 =x1 en derhalve ook y0 = y1.
(3.) Is x ∈ G dan x ⊥ G⊥. Dus G ⊂ G⊥⊥. (4.) Zij z ∈ G⊥⊥, dan kunnen we schrijven
z=x+y, met x∈G, en y∈G⊥ .
Wegensz∈G⊥⊥ is⟨z,y⟩=0.Ookis⟨x,y⟩=0.Dus⟨y,y⟩=0enderhalvey=0,dwzz∈G.
Dus G⊥⊥ ⊂ G. Hiermee is de stelling volledig bewezen.
Naast G⊥ kunnen we beschouwen de quotiëntruimte H/G. We beschouwen speciaal de af-
beelding van G⊥ in H/G, gegeven door
y → y + G
Deze afbeelding is zeker lineair:
{
(y ∈ G⊥) .
(y1 +G)+(y2 +G) ,
(3.14)
(y1 +y2)+G = αy+G =
α(y+G).
Verder is de afbeelding surjectief, want als z ∈ H, dan kunnen we schrijven z = x+y met x ∈ G
en y ∈ G⊥, en is dus z + G = y + G met y ∈ G⊥. Tenslotte geldt: ∥y + G∥ = inf ∥x + y∥ = ∥y∥ .
x∈G
Samenvattend zeggen we dat de afbeelding (3.14) een isometrie geeft tussen G⊥ en H/G. Zie
ook de definitie in Sectie 3.7.4.
3.7.3 Orthonormale stelsels
In hetvolgende doorloopt λ een vaste indexverzameling Λ, mogelijk overaftelbaar.
Definitie 3.7.23 (orthonormaal stelsel). Het stelsel vectoren (eλ) in een Hilbertruimte H
heet een orthonormaal stelsel als geldt:
∥eλ∥=1 ∀λ∈Λ,
⟨eλ,eλ′⟩∥=0 als λ̸=λ′. Maw de vectoren eλ hebben lengte 1 en zijn onderling loodrecht.