Page 119 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 107
Opmerking 3.7.11. Krachtens Stelling 3.7.2 geldt dat in Ck en l2 de ongelijkheid van Cauchy- Schwarz. Bij expliciet uitschrijven komt er:
respectievelijk
rij ook voor p > p0 en is de rij begrensd, terwijl voor p → ∞ de uitdrukking (∑∞i=1 |xi|p)1/p nadert tot supk |xk|, dus tot de norm van x als element van l∞. Voor alle p ≥ 1 is lp een Banachruimte. We geven hier geen bewijs. In het speciale geval p = 2 hebben we een Hilbertruimte, zoals we boven bewezen hebben.
Opmerking 3.7.13. Evenals voor l1 geldt ook voor l2 dat het lineair omhulsel der eenheids- vectoren dicht ligt in l2. Want als x ∈ l2 en x(n) = (x1,x2,...,xn,0,0,...) voor n = 1,2,...,
∑k 2 ∑k ∑k
xiy ≤ |xi|2 · |yi|2 , i
i=1 i=1 i=1
∑∞ 2 ∑∞ ∑∞
xky ≤ |xk|2 · |yk|2 . k
k=1 i=k k=1
Opmerking 3.7.12. De ruimten l1 en l2 zijn speciale gevallen van de ruimte lp, (p ≥ 1),
bestaande uit complexe getallenrijen x = (x1, x2, . . .) met ∑∞i=1 |xi|p < ∞ en met norm (∑∞i=1 |xi|p)1/p. ∑∞ p0
dan is
∑∞ x−x(n) =
i=n+1
Convergeert i=1 |xi| voor een gegeven rij (x,x2, . . .) en een gegeven p0, dan convergeert de
|xi|2 → 0 voor n→∞.
3.7.2 Orthoplement van een lineaire deelruimte
Zij H een Hilbertruimte en G een lineaire deelruimte.
Definitie 3.7.14 (loodrecht). Twee elementen x, z ∈ H heten onderling loodrecht of orthogo- naal, en we schrijven z ⊥ z, als ⟨x, z⟩ = 0.
Verder zeggen we dat z loodrecht staat op G als ∀x∈G x ⊥ z.
Stelling 3.7.15. De verzameling der elementen z ∈ H met z ⊥ G is een gesloten lineaire deelruimte van H.
Bewijs:Alsz1 ⊥Genz2 ⊥Gdanis ∀x∈G ⟨z1,x⟩=⟨z2,x⟩=0,dus
dwz
Is∀n∈N zn ⊥Genlimn→∞zn =z,danhebbenwe
∀α1,α2∈C ∀x∈G ⟨α1z1 +α2z2,x⟩=0 ∀α1,α2∈C α1z1 +α2z2 ⊥G.
∀n∈N,x∈G ⟨zn, x⟩ = 0
dus, vanwege de continuïteit van het inproduct ∀x∈G ⟨z, x⟩ = 0, dwz z ⊥ G.
Definitie 3.7.16. De verzameling van alle elementen z zodat z ⊥ G heet het orthoplement van G, en wordt aangegeven met G⊥.