Page 117 - Echte wiskunde
P. 117
Echte Wiskunde 105
Gevolg 3.7.5.
∥x∥ = sup |⟨x, y⟩| , (3.12) y∈R ∥y∥
want ∀x,y∈R |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ ∥y∥ en als we y gelijk aan x nemen krijgen we ⟨x, y⟩ = ⟨x, x⟩ = ∥x∥2. Lemma 3.7.6. Het inproduct is continu in beide variabelen tegelijk.
Bewijs:
⟨x,y⟩ − ⟨x0,y0⟩ = ⟨x − x0,y⟩ + ⟨x0,y − y0⟩, dus wegens Cauchy-Schwarz
|⟨x,y⟩−⟨x0,y0⟩| ≤ ∥x−x0∥·∥y∥+∥x0∥·∥y−y0∥
≤ ∥x−x0∥·(∥y0∥+∥y−y0∥)+∥x0∥·∥y−y0∥
≤ ∥x−x0∥·∥y0∥+∥y−y0∥·∥x0∥+∥x−x0∥·∥y−y0∥ Bij de definitie van Banachruimte sluit aan:
Definitie 3.7.7. Een Hilbertruimte is een lineaire ruimte met inproduct ⟨·, ·⟩, die volledig is in
de bijbehorende metriek
Uit deze definitie volgt direct dat een Hilbertruimte ook een Banachruimte is.
Stelling 3.7.8. Zij R een lineaire ruimte met inproduct ⟨·, ·⟩ en zij R het volledig omhulsel van R als metrische ruimte, dan is R een Hilbertruimte als we stellen:
voor willekeurige α ∈ C en x, y ∈ R en met (xn) en (yn) bijbehorende fundamentaalrijen in R.
x+y = limn→∞ (xn+yn), αx = limn→∞ (αxn) , ⟨x, y⟩ = limn→∞ ⟨xn, yn⟩ .
Bewijs: De opgeschreven limieten bestaan en de laatste is eindig, o.a. omdat
⟨xn, yn⟩ − ⟨xm, ym⟩ → 0 voor n → ∞. Verder is R een lineaire ruimte en ⟨·, ·⟩ een inproduct op R . De bij dit inproduct behorende metriek is ook de metriek van R als volledig omhulsel.
Voorbeeld 3.7.9. De ruimte Ck. De vorm ⟨x,y⟩ = ∑k xiyi is een inproduct op Ck. We i=1 √∑k
hebben bijvoorbeeld ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩. De bijbehorende norm is ∥x∥ = i=1 |xi|2. In deze norm is Ck volledig (zie sectie 3.4). Dus is Ck met het genoemde inproduct een Hilbertruimte.
Voorbeeld 3.7.10. De ruimte l2. Deze ruimte bestaat uit de complexe getallenrijen
√
ρ(x,y) = ∥x−y∥ = ⟨x−y,x−y⟩.
x = (x1, x2, . . . , xn) met ∑∞i=1 |xi|2 < ∞. Som, scalair veelvoud en inproduct worden gedefi-
nieerd door
x+y = (x1 +y1,x2 +y2,...,xn +yn)
αx = (αx1,αx2,...,αxn) ⟨x,y⟩ = ∑∞i=1 xiyi
We laten zien dat deze definities zinvol zijn.
(3.13)
(a) We hebben algemeen 11 11Immers:(a+b)2≤2(a2+b2)meta=Rxk,b=Ryk ena=Ixk,b=Iyk.
|xk + yk |2 ≤ 2 (|xk |2 + |yk |2 ) .
