Page 118 - Echte wiskunde

P.W. Hemker |yi|2 convergeren, convergeert ook de reeks
2
Zonder moeite gaat men na dat bij de gegeven definities l2 een lineaire ruimte en ⟨·,·⟩ een in- product op l2 is.
We laten zien dat l2 volledig is.
Bewijs:
Zij (xn) een fundamentaalrij in l2. Als in Voorbeeld 3.4.9 in het geval van l1 hebben we12:
1.) Er bestaat een getal C > 0 met
∥xn∥ ≤ C ∀n∈N
want immers is de rij der normen ∥xn∥ een fundamentaalrij van reële getallen.
2.) De rij der rijen xn = (xn1,xn2,··· ,xnk,···) convergeert componentsgewijs, dwz voor elke k afzonderlijk convergeert (xnk)∞n=1 naar een getal xk. Dit volgt uit
∑∞
106
Als vanwege x, y ∈ l2 de reeksen ∑∞
|xi|2 en ∑∞ i=1
∑∞ |xi+yi|2.Dusx+y∈l2 i=1 i=1 ∑∞ 2
∑∞ 2
(b) Als
(c) Als x, y ∈ l2 dan convergeert de reeks
voor α ∈ C.
∞i=1 xi yi absoluut, omdat
i=1
∑ |αxi| i=1
|xi| convergeert, dan ook
|xkyk| = |xk| · |yk| ≤ 1 (|xk|2 + |yk|2) ∀k∈N .
| x ni − x mi | 2 = ∥ x n − x m ∥ . ceren we, voor een willekeurig element y = (y1, y2, . . .) ∈ l2,
| x nk − x mk | ≤
3.) De rij x = (x1, x2, . . .) behoort tot l2 en we hebben ∥x∥ ≤ C. Om dit te bewijzen introdu-
i=1
∑k i=1
We hebben ∀k∈N Sk(y) ≤ ∥y∥ en limk→∞ Sk(y) = ∥y∥.
We beschouwen nu de geconstrueerde rij x = (x1,x2,...). Uit (2.) en de definitie van Sk volgt dat
Sk(x) = lim Sk(xn) ∀k∈N . k→∞
Daarbij is ∀k,n∈N Sk(xn) ≤ ∥xn|| ≤ C wegens (1). Dan is ook ∀k ∈ N Sk(x) ≤ C. Dus is ∥x∥ ≤ C, ihb x ∈ l2.
4.) De rij (xn) convergeert naar x in de norm van l2. Voor elke ε > 0 geldt immers dat ∥xn − xm∥ < ε ∀n,m>nε
door vergelijken van Sk(xn − xm) en Sk(xn − x) vindt men dan dat n > nε ⇒ ∥xn − x∥ < ε .
Hiermee is bewezen dat, onder de definitie (3.13), l2 een Hilbertruimte is.
12Merk op dat hier weer in xn het getal n niet een macht van x aangeeft, maar een boven-index n is, en dat xn een rij is met elementen xn1,xn2,xn3,xn4,··· ,xnk,···.
Sk(y) =
|yi|2 ∀k∈N .