Page 120 - Echte wiskunde

108 P.W. Hemker In het volgende maken we de extra veronderstelling dat G gesloten is.
Lemma 3.7.17. Zij G een gesloten lineaire deelruimte van H en zij z ∈ H willekeurig. Dan bevat G een punt x0 met minimale afstand tot z.
Opmerking 3.7.18. In verband met de mogelijk oneindig-dimensionaliteit van G volgt de be- wering niet direct uit het feit dat G gesloten is. De analoge bewering voor Banachruimten is niet algemeen waar. Men moet nagaan dat het punt eenduidig bepaald is.
Bewijs: (van Lemma 3.7.17) Stel d = infx∈G ∥z − x∥. Dan bestaat een rij elementen xn ∈ G met limn→∞ ∥z − xn| = d. We beschouwen een drietal punten z, xn, xm en passen de formule voor de zwaartelijn in een driehoek toe:
x+x 2 1 1 1
z− n m + ∥xn −xm∥2 = ∥z−xn∥2 + ∥z−xm∥2.
2422
Deze formule is eenvoudig te verifiëren in de vorm (neem x = z − xn, y = z − xm)
∥x+y∥2 +∥x−y∥2 = 2(∥x∥2 +∥y∥2) .
Zij nu η > 0 willekeurig. Dan is, voor n, m voldoende groot ∥z−xn∥ < d+η en
∥z−xm∥<d+η. Verder is 1(xn +xm) ∈ G en dus ∥z− 1(xn +xm)∥ ≥ d. Dus, als n en
22
m voldoende groot zijn,
∥xn −xm∥2 = 2∥z−xn∥2 +2∥z−xm∥2 −4∥z− 1(xn +xm)∥2
2
= 2(d+η)2 +2(d+η)2 +−4d2 =8dη+4η2.
Hieruit volgt dat (xn) een fundamentaalrij is. Deze convergeert naar een punt x. Daarbij geldt: 1) x ∈ G omdat G gesloten is, en
2) ∥z − x∥ = d omdat limn→∞ ∥z − xn∥ = d en limn→∞ ∥z − xn∥ = ∥z − x∥.
Daarmee is het lemma bewezen.
Lemma 3.7.19. Laat G, z en x0 zijn als hierboven (Lemma 3.7.17). Dan is z − x0 ⊥ G, dwz x0 is de projectie van z op G.
Bewijs: Zij x ∈ G willekeurig, τ een complexe variabele en Q(τ) = ∥z − x0 − τx∥2 − ∥z − x0∥2. dan geldt Q(τ) ≥ 0. Verder is
Q(τ)=|τ|2 ·∥x∥2 −τ⟨z−x0,x⟩−τ⟨x,z−x0⟩. Neemeensaandat⟨z−x0,x⟩̸=0.Stelτ= ⟨z−x0,x⟩ tmett∈R.Dankomter
|⟨z−x0 ,x⟩|
Q(τ)=t2 ·∥x∥2 −2t|⟨z−x0,x⟩|.
Het rechterlid is een reële kwadratische vorm die niet steeds ≥ 0 is, in strijd met de aanname. Dus ⟨z − x0, x⟩ = 0 voor all x ∈ G. Daarmee is het lemma bewezen.
Definitie 3.7.20 (directe som). Zij H een Hilbertruimte en laten G1, G2 twee gesloten lineaire deelruimten van H zijn. Dan H de directe som van G1 en G2 en we schrijven H = G1 ⊕ G2, als geldt:
1.) elk element z ∈ H is eenduidig te schrijven als x+y, met x ∈ G1 en y ∈ G2;
2.) G1 en G2 staan loodrecht op elkaar: dwz ∀x∈G1 ,y∈G2 ⟨x, y⟩ = 0.