Page 122 - Echte wiskunde

110 P.W. Hemker
De voorwaarden in de definitie hebben direct tot gevolg dat de vectoren eλ (eindig) lineair onafhankelijk zijn, want als
α1eλ1 +···+αkeλk =0
voor zekere indices λ1, . . . , λk en zekere coefficienten α1, . . . , αk dan is ⟨α1eλ1 +···+αkeλk,eλi⟩ = 0 ofwel α1 = 0 voor i = 1,...,k.
Voor rijen van vectoren geldt:
Stelling 3.7.24. Zij H een Hilbertruimte en (xk) een willekeurige aftelbare rij vectoren in H. Dan bestaat er een afbrekende orthonormale rij (ek), zodat de verzameling der vectoren xk hetzelfde lineair omhulsel heeft als de verzameling der vectoren (ek). Dus, met een voor de hand liggende notatie
L(x1,x2,...) = L(e1,e2,...)
Bewijs: We lopen de rij x1,x2,... langs en schrappen daarbij elk element dat een lineaire combinatie is van vorige elementen. Op deze wijze krijgen we een oneindige, of een afbrekende rij lineair onafhankelijke vectoren. We geven deze rij weer aan met x1 , x2 , . . ..
In het bijzonder is x1 ̸= 0. We kunnen dus nemen e1 = x1/∥x1∥ en we zien L(x1) = L(e1) en ∥e1∥ = 1.
Laat nu eerst voor k = 2, en later voor k = 3,4,...,
L(x1,...,xk−1) = L(e1,...,ek−1) = Lk−1
met ∀j<k ∥ej∥ = 1 en ∀i̸=j;i,j<k ⟨ei,ej⟩ = 0 .
Dan is Lk−1 eindig-dimensionaal, dus gesloten, en uit Stelling 3.7.22 volgt dan dat
xk =zk +yk met zk ∈Lk−1 en 0̸=yk ∈L⊥k−1 . We definieren nu ek = yk/∥yk∥ en zien direct dat
L(x1,...,xk) = L(e1,...,ek−1) = Lk .
(3.15)
Verder geldt ∀i,j<k ⟨ei,ek⟩ = 0 en ∥ek∥2 = ⟨ek,ek⟩ = ⟨yk,yk⟩/∥uk∥2 = 1, zodat (3.15) geldt voor k = 3. Op deze wijze kunnen we dus een rij e1, e2, . . . construeren zodat (3.15) geldt voor k = 2,3,4,5,.... Daarmee is de stelling bewezen.
Het in het bovenstaande bewijs beschreven proces heet orthonormaliseren en is afkomstig van Schmidt.13. Op grond van Stelling 3.7.24 mogen we bij kwesties betreffende lineaire deelruimten voortgebracht door een rij vectoren, er van uitgaan dat er een equivalente rij orthonormale vectoren is.
Stelling 3.7.25. Zij (ek) een orthonormale rij in een Hilbertruimte H. Dan geldt dat een reeks van de vorm ∑∞k=1 αkek convergeert dan en slechts dan als ∑∞k=1 |αk|2 convergeert. Is die reeks convergent met som x, dan geldt:
en
∥x∥2 = ∀k∈N
∑∞
|αk|2 , ⟨x,ek⟩ = αk.
k=1
13Erhard Schmidt (1876–1959). We moeten echter wel opmerken dat Laplace het Gram-Schmidt proces eerder presenteerde dan Gram of Schmidt(1907).