Page 124 - Echte wiskunde

112 P.W. Hemker Deze formule impliceert dat ∥z∥2 − ∥x∥2 ≥ 0, dus dat ∥x∥2 ≤ ∥z∥2. Dus, wegens (3.18),
∑k
|⟨z, eλi ⟩|2 ≤ ∥z∥2 . (3.20)
i=1
Deze ongelijkheid geldt voor elk eindig stelsel indices λ1,...,λk. Dan zijn er, bij gegeven z, maar eindig veel indices λ met |⟨z,eλ⟩| ≥ 1. Algemener zijn er slechts eindig veel indices λ met |⟨z, eλ⟩| ≥ 1/n, voor ieder n ∈ N. Tezamen zijn er dan, bij gegeven z, hoogstens aftelbaar oneindig veel indices met ⟨z, eλ) ̸= 0. Daarmee is de bewering (1) bewezen.
Het zojuist bewezen resultaat houdt in dat de uitdrukking ∑
reeks, of een gewone oneindige reeks is. Voor elke eindige deelsom geldt de schatting (3.20). Dan geldt de schatting ook voor de gehele som. Dwz (2) geldt.
|⟨x, eλ⟩|2 in feite een afbrekende We beschouwen de reeks ∑ ⟨z,eλ⟩eλ. Deze reeks convergeert wegens (1) en (2) en Stelling
λ
3.7.25, zeg naar x0. Dit element x0 is dan de limiet van een rij elementen x van de vorm (3.18) en behoort dus tot L(M). Daarbij geldt
Door de limietovergang volgt dat
Dan is zeker
i=1 ∑
λ
∑k 2 ∑k
∥z−x∥2 = z− ⟨z,e ⟩e =∥z∥2 − λiλi λi
∥z − x0∥2 = ∥z∥2 −
∑
λ
(3.21)
Zij anderzijds x een willekeurig punt van L(M). Dan is x van de vorm α1eλ1 + · · · + αkeλk , met zekere indices λi en zekere coëfficienten αi. Uit het eerste deel van het bewijs volgt nu, als x het bijbehorende punt ∑ki=1⟨z, eλi ⟩eλi is, dat
|⟨z,e ⟩|2
i=1
i=1
|⟨z, eλ⟩|2 .
∥z−x∥2 ≥∥z−x∥2 =∥z∥2 −
∑k
∥z−x∥2 ≥∥z∥2 −
Deze schatting blijft gelden als we voor x een willekeurig punt van L(M) nemen. Omdat (3.21)
geldt, zijn daarmee de beweringen (3) en (4) aangetoond.
Is, met de notatie van Stelling 3.7.26, L(M) dicht in H, dan is steeds d = 0 en geldt steeds het gelijkteken in (2). En omgekeerd. We noemen nu het stelsel M = (eλ) maximaal in H als M niet uit te breiden is met een vector e′ , en vol ledig als L(M ) dicht is in H . Er geldt
Stelling 3.7.28. Zij M = (eλ) een orthonormaal stelsel in H. Dan zijn devolgende beweringen equivalent:
(1) M is maximaal in H;
(2) M is volledig in H;
λ
|⟨z,eλi⟩|2 . |⟨z,eλ⟩|2 .
(3) voor elk element z ∈ H geldt de betrekking van Parseval : (4) voorelkpuntz∈H isz=∑ ⟨z,eλ⟩eλ.
λ
∥z∥2 =
∑
λ
|⟨z, eλ⟩|2 ;
Bewijs: Volgens het voorafgaande drukken de beweringen (2), (3) en (4) alle uit dat L(M) = H. Dus zijn deze beweringen equivalent.